TANGENTE
33& — On détermine la direction MT de la tangente au point M par l’angle a qu’elle fait avec la prolongement MA du rayon vecteur.
Soient p et <o les cordonnées du point M, p + Ap et <u + Au celles d’un point voisin M' (flg. 188) ; menons la sécante MM' , et du pôle comme centre avecOM pour rayon décrivons l’arc de cercle MN ; l’angle MOM' est l’accroissement Au de l'angle polaire,
LIV. IV, CHAP. IV.— COURBES EN COORPON. POLAIRES. 207 M'N est l'accroissement Ap du rayon vecteur. Dans le triangle N .MM', on a
sin OM'M corde MN corde M N «rcMN cordcMN pA m
ïùfNMM' — ” M'N — orcMN' X M'N “ arc MN X ~£p" Si l'on fait tourner la sécante autour du point M, de manière que le point M' se rapproche indéfiniment du point M , la sécante MM' a pour limite la tangente MT, la corde MN a pour limite la tangente à Tare de cercle , et par suite la perpendiculaire au rayon OA ; on a donc
ùmOM'M = OMT' = a, lim NMM'= - - « ;
on sait d’ailleurs que la limite
du rapport d’un arc de cercle à
sa corde est l’unité ; l'équation
précédente devient ainsi
sin a Ab>
=p/im — .
cos a A p
ou
lang*
lim —
Ata
p/ désignant la dérivée de p considéré comme fonction de m.
On a supposé dans la figure précédente que le rayon vecteur croît avec l’angle «o ; s’il décroît, le triangle NMM' (11g. 1 89) donne sin OM'M
— sinNMM'"
corde MN arc MN
corde MN ? Am
: üT5Tx — ;
arc MN Ap
arc MN —M'N
les angles OM'M, NMM' ayant pour limites a et a — ^ ; on retrouve encore
la même formule.
Quand w croît , on s’avance sur la courbe dans un certain sens; a désigne l’angle que fait la lan- Fi«. is». gente menée dans le sens du mou-
vement avec la direction déterminée par l’angle m. On voit aussi que la même formule convient au cas où le rayon vecteur est négatif.
339— Remarque. — Lorsque le rayon vecteur s’annule pour
une valeur particulière b>0 de «, on a une brandie de courbe OC passant au pôle, et la tangente à cette branche au pôle est précisément la droite OA donnée par l’angle u,. En effet, si l’on ■ prend un point voisin M , et si l’on fait tourner la sécante OM de manière que Fig. i9o. le j)0int yt sc rapproche du point O, p
s’annule et la sécante tend vers la direction OA.
340— Exemple I. — Spirale d’Archimède. — L’équation de cette courbe étant p = b w, on en déduit p'=ô, d’où
tang*=--=— = u.
Si le point M part du pôle et s’avance sur la courbe, l’angle w d’abord nul, augmente constamment et tend vers un angle droit.
341 — Exemple IL — Spirale logarithmique. — On appelle spirale logarithmique la courbe dont l’équation polaire est
a désignant une ligne donnée et m un nombre. Supposons la
constante m positive; si l’on fait croître i» de 0 à l’infini . p va constamment en croissant de a à l’infini , ce qui donne une branche indéfinie ABC...., faisant une infinité de circonvolutions autour du pôle. Si l'on fait ensuite varier « de 0 à — », p diminue constamment et tend vers zéro , on obtient une seconde branche indéfinie AB’C'... qui fait une infinité de circonvolutions autour du pôle, en se rapprochant constamment de ce point. Lorsque la constante m est négative , les valeurs positives de w donnent la branche qui se rapproche du pôle, et les valeurs négatives celle qui s’en éloigne.
