LIV. IV, CHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES
Onaj/=mae",“=tBp; il en résulte <an</a=-j-~
La tangente à la courbe fait avec le rayon vecteur un angle constant.
342 — Exemple III. — Épicycloide. — Lorsqu’un cercle mobile roule, sans glisser, sur un cercle fixe, un point du
cercle mobile décrit dans le plan une courbe à laquelle on a donné le nom d’épicycloïde.
Bornons - nous au V cas où les deux cercles sont égaux. Soit C le cercle fixe, C' la position initiale du cercle mobile , a le rayon ; supposons que ce soit le point de contact A qui, dans le mouvement du cercle C', engendre l’épicycloïde. Lorsque le cercle mobile a roulé de l’arc AE, le point A est venu en M; les deux arcs EA, EM sont égaux. Prenons le point A pour pôle, le prolongement de CA pour axe polaire; la droite AM, perpendiculaire sur la tangente commune aux deux cercles , est parallèle à CE ; l’angle AEN est la moitié de ACE, et par conséquent la moitié de <o ; le triangle rectangle ANE donne
mais
donc
AN= AEsin— ;
. <*> AE=2as«n
p=4a tin'1 - =2a(i— cosw).
Telle est l’équation de l'épicycloïde.
Il suffit de donner à <•> les valeurs comprises entre 0 et 2ir. Quand <■> varie de 0 à n, p croît de 0 à 4 a, ce qui donne l’arc ADB. Pour io = w, et t» — 2 it — <o„ les valeurs de p sont égales; donc, en faisant varier u de * à 2*, on obtient un arc symétrique du premier par rapport à l'axe polaire, et par conséquent l’axe polaire est axe de la courbe.
Puisque la dérivée de cos w est égale à — sin w, la dérivée de p, considérée comme une fonction de«, est égale à
2 a sin <o.
On a donc
ou
langi — - — — — z=tang * 2asm«
CO
TT
Du point A au point B, a croît de 0 à en B la tangente
est perpendiculaire sur le rayon vecteur. Il est aisé de voir que la normale à l’épicycloïde en un point quelconque M passe au point de contact du cercle mobile avec le cercle fixe; en effet
l’angle MEN est égal à et par suite à « ; donc EM est per-
Jè
pendiculairesurMT.
343— Exemple IV. — Construction de la courbe
P=4-f cos 5cu.
Il suffit de faire varier <o de 0 à 2 tt. Le rayon vecteur P reste toujours compris entre 3 et 5 ; décrivons donc __ du pôle comme centre deux cercles avec les rayons 3 et 5, la courbe sera tout entière située entre ces deux cercles. Quand <o varie de
Oàp. p diminue de 5 à 3,
