LA

d’où

LA' k L'A" k '

Ainsi les droites LA', L'A" sont parallèles et dans un rapport constant; donc, en vertu du théorème précédent, les deux systèmes A' et A" sont homothétiques.

Deux systèmes A' et A" homothétiques à un troisième A et construits avec le même rapport sont égaux entre eux ; car si k=k', les rayons parallèles LA' et L'A" sont égaux et les deux systèmes peuvent être superposés. On conclut de là qu’au moyen d’un seul centre O, en faisant varier le rapport k de 0 à », on peut construire tous les systèmes homothétiques au système donné.