LIV. IV, CI1AP. V.-DE LA SIMILITUDE

Lorsque les deux systèmes A' et A'7 sont tous deux homothétiques directs ou homothétiques inverses, par rapport au système A, ils sont homothétiques directs entre eux; mais si l’un est homothétique direct, l'autre homothétique inverse, ils sont entre eux homothétiques inverses.

Les centres de similitude de trois systèmes homothétiques deux (i deux sont en ligne droite. En effet, la droite OO considérée comme appartenant au premier système a pour homologues,dans le second et dans le troisième système, cette droite elle-même, puisqu’elle passe par les centres 0 et <y. Cette droite est donc à elle-même son homologue dans les deux derniers systèmes, et par conséquent passe par leur centre de similitude O".

357 — Lorsque deux figures à centre sont homothétiques directes, elles sont aussi homothétiques inverses, et réciproquement.

Soient C et Cl les centres des figures, A et A' deux points homologues ; je prends sur le prolongement de C'A7 un point A', tel que C'A', =C'A', le point A', appartient aussi à la seconde

figure ; or ^,=A- ; donc = k ; puisque les rayons ho-

mologuesCA et C'A', sont dirigés en sens contraire, les deux courbes sont homothétiques inverses. ■

11 en résulte que les deux figures ont deux centres de similitude, l’un direct ou externe O placé sur le prolongement de la ligne des centres, l’autre inverse ou interne O7 placé dans l’intervalle CC'.

Lorsque trois figures à centre sont homothétiques deux à deux, elles ont trois centres de similitude externes et trois in-

340 GÉOMÉTKIE ANALYTIQUE,

ternes. Les trois centres de similitude externes sont en ligne droite; de même deux centres de similitude internes et le centre externe qui correspond au troisième interne sont aussi en ligne droite.

358— Les côtés homologues de deux polygones homothétiques ayant constamment pour rapport le nombre k, leurs périmètres sont dans le même rapport; ainsi le rapport des périmètres de deux polygones homothétiques est égal au rapport de similitude.

Si l'on abaisse de deux sommets homologues de deux triangles homothétiques des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront des droites homologues dans les deux systèmes, leur rapport sera égal à k, et par suite le rapport des aires des triangles sera égal à k'.

Eu décomposant deux polygones homothétiques en triangles homothétiques deux à deux, on voit que le rapport des aires des figures est encore égal à k*; ainsi le rapport des aires de deux polygones homothétiques est égal au carré du rapport de similitude.

Les deux théorèmes précédents s’étendent à des figures planes, terminées par des contours homothétiques quelconques.