LIV. V, CHAP. V.-DE LA SIMILITUDE

Dans cette nouvelle position, la courbe S' est homothétique à S ; car les rayons vecteurs menés des points 0 et CK sont parallèles et dans le rapport constant k. L'équation (3) représente donc toutes les courbes homothétiques à la courbe proposée, quelle que soit la position du centre de similitude.

361— En même temps que nous transportons l’origine en (K, faisons tourner les axes de l’angle a; la courbe S' occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S', rapportée aux axes mobiles OX' et (FY', a pour équation f(kx', kyl)xsO;

au moyen des formules de transformation , les axes étant supposés rectangulaires,

x'=(x — p) cos a + {y — q)sin*, y1 =— (x—p) tin a + (y—q) cos a, on obtient l’équation de la courbe par rapport aux deux axes Axes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.

36Ü— Comme application, cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré

A x’-(- Bxy + Cy’ -f Dx + Ey + F= ü,

A'x’ + B’.ry -fC'ÿ +Ü'y+ EV+F — 0, soient homothétiques. L’équation générale des courbes homothétiques à la première courbe est

AtV+Bk’-rÿ+CAV— (Bk*î-f-2AA*p-Dfc)i— Kk)y

-HAiy-fltt’Pî-H'Jsy— Dkp— Kfc?-f-F)=0.

En identifiant cette équation avec la seconde, on a

ABC — B« — 2Ap+k — BP-2C«+k À~ B>— c= ïr F * F

L’élimination des trois paramètres p,q, k, entre ces cinq équations, donne deux équations de condition; or, les deux ABC

premières équations — , = |ÿ — ^7» ne renfermant pas les paramètres à éliminer, sont précisément les deux équations

de condition. Donc, pour que deux courbes du second degré soient homothétiques, il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.

303—11 reste à examiner si les valeurs des paramètres p, q, k sont réelles et finies; on évite cette discussion de la manière suivante. Puisque les coefficients des termes du second degré sont proportionnels, on peut les rendre égaux en multipliant tous les termes de l’une des équations par un facteur convenable; prenons donc les deux équations sous la forme

(1) Ax’+ Bxy + Cÿ’+Dar+Ey + F = 0,

(2) Ax* + B.ry + Cy, + D'x-j-E'{H-F'=9.

Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quan-

tité B*— 4 AC.

|o b« 4AC=0. Les deux lieux sont du genre parabole ; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables; de plus, les axes des deux courbes, ayant le même coefficient

angulaire sont parallèles, et par suite les courbes sont

homothétiques.

2° B1 — 4AC<0. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe , on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (i) et (2) deviennent

(3) Ax,-fBa;p-(-Cÿ,+F1=0,

(4) Ax’+Bxp + Cy’+F^O.

Les axes des courbes, dont les directions sont déterminées par l’équation

to»»2a=r=c’

sont parallèles. Si l’on fait tourner les axes des coordonnées de l’angle a, les équations (3) et (4) se réduisent à la forme

(5) Maî* + Ny, + F1=0,

(6) Ma;» + Ny,+F1,=0.

L1V. IV, CHAP. V.— DE LA SIMILITUDE 325 Les coefficients M et N, dont les valeurs sont données par les relations

ont le même signe ; pour que les équations (5) et (6) représentent deux ellipses, il faut que les quantités F,, F/ soient également de même signe et que, de plus, ce signe soit contraire au précédent. Lorsque cette condition est remplie , les

axes des deux ellipses ayant le même rapport 1/ les ellipses sont homothétiques.

3» B* — 4 A C > 0. Les deux lieux sont du genre hyperbole. En faisant les mêmes transformations que dans le cas précédent, on arrive aux équations (5) et (6) dans lesquelles M et N ont des signes contraires. Lorsque F, et F', sont différents de zéro, chacune des équations représente une hyperbole. Si F, et F', ont le même signe, les axes réels des deux courbes sont parallèles, et comme le rapport des axes est le même, les courbes sont homothétiques. Lorsque F, et F', ont^les signes contraires, l’une des hyperboles est semblable à la conjuguée de l’autre. Dans tous les cas, les deux courbes ont leurs asymptotes parallèles.

On conclut de ce qui précède que, lorsque deux équations du second degré ont les coefficients des termes du second degré proportionnels, et représentent deux courbes, ces courbes sont homothétiques ; cependant, quand les courbes sont des hyperboles, il peut arriver que l’une soit homothétique à la conjuguée de l’autre.

ÉQUATION GÉNÉRA LK I>’lNE ESPÈCE DE COURBES.

304 — On appelle courbes de même espèce les courbes comprises dans une même définition géométrique, et qui ne diffèrent les unes des autres que par les valeurs attribuées aux paramètres qui entrent dans la définition générale. L’équation générale des courbes de l’espèce considérée est une équation qui, dans un système de coordonnées, donne toutes ces-courbes,

quelle que soit leur posillion dans le plan, quand on attribue diverses valeurs aux paramètres variables qu'elle renferme. Ainsi, lorsque les axes fixes sont rectangulaires, l’équation générale de l’espèce cercle est

Cette équation renferme trois paramètres variables, savoir : le rayon r et les deux coordonnées du centre a et £.

365 — Souvent on cherche d’abord l’équation de la courbe par rapport à des axes particuliers que l’on choisit de manière à simplifier le calcul; alors, pour obtenir lequalion générale, on la rapporte à des axes fixes par une transformation de coordonnées.

On a défini la lemniscate le lieu des points tels que le produit des distances de chacun deux à deux points F et F' soit égal au carré de la moitié de la droite F'F. Si l’on prend pour origine le milieu 0/ de la droit F'F, pour axes des coordonnées O'F et une perpendiculaire à O'F, et si l’on désigne par 2c la distance F'F, la courbe, rapportée à ces axes particuliers variables, est représentée par l’équation (n° 300) (af'+yl')'+<lc'(y'' — *')=0.

On rapporte ensuite la courbe aux axes fixes rectangulaires OX, OY, au moyen des formules de transformation

x!={x— a)cos «-(-(y— è)s»na, !/=— (x— 6)cosa, dans lesquelles a et b désignent les coordonnées du poinlO' par rapport aux axes fixes et <* l’angle de la droite O'F avec OX. On arriveraainsi aune équation F(x, y,c,a,b, a) = 0

renfermant quatre paramètres arbitraires, et qui représente toutes les lemniscates; c’est l’équation générale de l’espèce.

366— L’équation générale d’une espèce de courbes, par rapport à des axes fixes, contient trois paramètres de plus que