LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
ar+y=MF'=‘2a+MF=2DI (I étant le milieu de MF).
Soit J- = D I + s , y =DI — s,
on aura jry=DI* — z*=2aDI.
d’où z'=DI* — 2aDI=(a+MI)’ — 2 a (a+ MI)=MI* — a*; Sur MF comme diamètre, décrivons une demi-circonférence MP'PF, elle coupe la droite A'A en deux points P et P7, et si l’on mène P II perpendiculaire sur IH, on a III=z, ce qui donue les deux solutions PQ et P'Q'. La condition d’existence de ces solutions est
MI>a, DE>3a, /> 2a/¥>-2CD.
On obtiendrait de même les deux autres solutions par la demi-circonférence décrite sur le diamètre MF'.
383— Quelquefois une simple remarque sur les équations d’une problème indique une construction synthétique.
Exemple. — Construire un triangle, connaissant les longueurs (les trois médianes.
Désignons par a, b, c les trois côtés inconnus, par a', b ', c les médianes correspondantes; ou a entre ces six grandeurs les relations suivantes
3a*+4a'*=36'+46',=3c,+4c',=2(a,-|-6’-|-c,)=?(o/,+ft/‘+cy«).
ou
Soient a,, b,, c, les médianes du triangle dont a!, b1, c1 seraient les côtés; on aura pareillement
Fig. SIS.
3a',+4oî=3fr',+46î=3c/'+4c*=2(a/*+6,,+c',)=3(aî+6î+cï)
OU
a/'+^aî=6'*+^î=«/,+|f ï=§ («ï + K+c \)~ |(a'.+6'-+e").
La comparaison de ces relations donne
Et comme les médianes d’un triangle se coupent en un point situé aux deux tiers de chacune d'elles à partir des sommets, il en résulte cette construction graphique très-simple:
Formez le triangle qui a pour côtés les doubles des médianes données ; les lignes qui joignent les trois sommets de ce triangle au point de concours de ses trois médianes sont précisément les côtés du triangle cherché.
CONSTRUCTION DES RACINES DE L’ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ et de l'équation bicarrée.
384— L’équation du second degré à une seule inconnue se ramène à la forme ar’-fpjr+(p=0; pour qu’elle soit homogène, il faut que p soit une quantité de première dimension, et q une quantité de seconde dimension; si ces quantités sont rationnelles ou irrationnelles du second degré, on pourra construire une ligne a équivalente à la première et un carré b ' équivalent à la seconde ; et l’équation du second degré, en mettant en évidence les.signes de ses divers termes, aura l’une des quatre formes suivantes
x’+iLr-f&Yzzt),
Æ’-f-aa-— bt=0) x* — ax+b'= 0, x' — ax — b*= 0.
Les racines de la première et de la seconde sont celles de la troisième et de la quatrième, prises en signes contraires ; il sufûl donc de considérer celles-ci; or, si on les écrit x(a — x)=b‘, x(x—a)=b*,
on voit qu’il s'agit de construire un rectangle équivalent à un carré 6% et dont la somme ou la différence des côtés soit égale à une ligne donnée a, problèmes que l’on résout en Géométrie élémentaire. La résolution des équations et la construction
