LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

des formules feraient au besoin retrouver les solutions de la Géométrie.

L'équation bicarrée se ramène pareillement à l'un des types

ar‘-j -abx* — c'dhzz 0, xi-abxt-\-c'd,=0, xk—ab x'—c'd*— 0 ;

car il est inutile de considérer l’équation x‘+a6jc’-f c*d’=0, qui n’a que des racines imaginaires. Si l'on pose xt=cz, ces équations deviennent

On détermine, comme on vient de le dire, les racines z de celles-ci, puis on trouve x par une moyenne proportionnelle entre c et z.

CONSTRUCTION DES SOLUTIONS DE DEUX ÉQUATIONS A DEUX INCONNUES l’une DU SECOND DEGRÉ ET L’AUTRE DU PREMIER DEGRÉ.

385 — Ces deux équations sont de la forme

(t) Ajr,+Bji/-f-C,v,-|-Dj,4-Ey+F=:0,

(2) Pj+Qy+R=0.

L’élimination de l’une des inconnues, y par exemple, conduit à une équation homogène en x du second degré, dont les racines s'obtiennent d’après les constructions précédentes. Quand les deux valeurs de x sont connues, on détermine les deux valeurs correspondantes de y par la formule

y==-Qx“Ü:

l'équation (I) représente une courbe du second degré, l’équation (2) une ligne droite; donc les points de rencontre d'une courbe du second degré et d’une ligne droite s’obtiennent par la règle et le compas, sans qu’il soit nécessaire de construire la courbe.

Nous avons donné (livre III. chapitre vin) la construction à l'aide de laquelle on obtient ces points.

CONSTRUCTION DES RACINES DE L’ÉQUATION DU TROISIÈME OU DU QUATRIÈME DEGRÉ.

386— Considérons deux équations à deux inconnues a- et y

chacune d’elles définit une courbe.

Au système de ces deux équations, on peut substituer une infinité de systèmes équivalents; prenons en particulier le système

formé de l’une des équations proposées et de celle que l’on obtient en éliminant entre elles la variable y. Les racines réelles de l’équation (3) sont, en général, les abscisses des points communs aux courbes (t) et (2). Cependant si le système des équations (t) et (3) était vérifié par un couple de valeurs de la forme x—a, y=$+yi, dans lequel les quantités a, ft, y sont réelles, ces valeurs vérifieraient le système des équations (t) et (2); mais la quantité a ne serait pas l’abscisse d’un point coin- i mun aux deux courbes. L’exception que nous venons de signaler ne se présente jamais lorsque l’équation ® (x,y)=0 est une équation algébrique ne renfermant la variable y qu’au premier degré.

387 — L’équation à une seule inconnue

qu'il s’agit de résoudre, étant donnée, on peut choisir d'une infinité de manières différentes les courbes déterminées parles équations (1) et (2). La seule condition à remplir, c’est que l’élimination de y entre les équations (l)et(2) donne l’équation proposée. Une première combinaison est

y=fi*) >

elle revient à considérer les valeurs de l’inconnue comme étant les abscisses des points de rencontre de la courbe

L1V IV, CHAP. VI.wp-DKS PROBLÈMES DÉTERMINÉS. 333

avec l’axe des x. Celte combinaison est rarement la plus simple. On démontre en algèbre que si on élimine une inconnue y entre deux équations algébriques à deux inconnues dont les degrés sont ni et n, l’équation en x est généralement du degré mn. Par conséquent, si l’équation proposée est algébrique et que l’on veuille obtenir ses racines par des intersections de courbes algébriques, le produit des degrés des équation» des deux courbes devra être égal au degré de l’équation à résoudre. Nous allons appliquer la méthode à la résolution de l’équation du quatrième degré.

3 88— L’équation du quatrième degré se ramène aisément à la forme

(1) x‘4-px’-{-g.r-|-r=0;

on peut la considérer comme provenant de l’élimination de y entre les deux équations du second degré

(2) x'—my = 0,

(3) m,y,-|-pmi/-pqar-l-r=0,

qui définissent chacune une parabole. L’équation (2) ne renfermant y qu’au premier degré, toutes les racines réelles de l’équation (t) sont des abscisses de points communs aux deux courbes.

On peut remplacer la parabole (3) par une autre courbe du second degré passant par les points communs aux courbes (2] et (3). L’équation générale des courbes du second degré satisfaisant à cette condition est

(A) Xx’-fmV+ç.r+mfp— X)y+r=0,

X étant un paramètre arbitraire. Si l’on pose X=m*, la courbe (■i) ne pourra être qu’une circonférence de cercle. On obtient les coordonnées a et p du centre et le rayon R de cette circonférence par les formules

(5) «as— i B— R‘= ** + »*— r>

•2rn 2 m 1 1

que l’on construira, si les coefficients des équations ne renferment que des irrationnelles du second degré.

Lorsque la valeur de R* est positive, l’équation {A) représenle br. 23

effectivement un cercle, et les racines réelles de l’équation (1) sont les abscisses des points de rencontre de ce cercle et de la parabole (2). Lorsque R* est négatif, l’équation (4) n’ayant pas de solutions réelles (n° 85), il en est de même du système des équations (3) et (2) ou du système équivalent des équations (l)et(2); les quatre racines de l’équation proposée sont imaginaires.

38®— Considérons maintenant l'équation du troisième degré ramenée à la forme

a:,+px-|-q=0.

Si l’on multiplie par x, ce qui introduit la racine x=0, dont on ne tiendra pas compte, on obtient l’équation du quatrième degré

xl+px*+qx =0 ;

à laquelle on appliquera la méthode précédente. La valeur de R’ étant égale à a’-f p‘ est toujours positive. Le cercle et la parabole passent à l’origine des coordonées; l’abscisse de ce point est la racine 0, que l’on doit écarter.

La même parabole x’ — my= 0 peut servir pour la résolution de toutes les équations du troisième ou du quatrième degré; le cercle seul change suivant les valeurs des coefficients de l’équation proposée. Cette méthode ne peut être employée, avec avantage, que lorsque l’on doit résoudre successivement un grand nombre d'équations; alors on trace avec beaucoup de soin une parabole ayant un paramètre arbitraire ; et, dans chaque exemple particulier, il ne reste plus qu’à déterminer le cercle.

CONSTRUCTION DES SOLUTIONS DE DEUX ÉQUATIONS DU SECOND DEURÈ A DEUX INCONNUES.

390 — L élimination de y entre deux équations du second degré à deux inconnues x et y conduit en général à une équation du quatrième degré en x, dont il est impossible de construire les racines par la règle et le compas. Cette construction pourra se faire comme nous l’avons vu, au moyen d’une parabole et d’un cercle; cependant, si la courbe représentée par