LIV. IV, CHAI’. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
l’une des équations proposées est déjà tracée, on préfère s’en servir pour la résolution.
Exemple I. — Mener une normale à une parabole par un point donné P. Soit
(1) y ^péréquation de la parabole, xt et y, les coordonnées du point P; si l’on désigne par x et y les coordonnées du pied M de la normale, par X et Y les coordonnées courantes, cette normale a pour équation
Fie- tn ■ Comme elle doit passer par le point p,
on a la relation
ou
(2) xy = (x,—p)y+pyl,
qui, jointe à l’équation (1), détermine les inconnues x et y. On aurait donc à considérer l’intersection de la parabole par une hyperbole.
Si l’on multiplie les deux membres de l’équation (2) par y, et si l’on remplace y* par ipx, on obtient une autre parabole
Enfin,' en ajoutant membre à membre les équations (!) et (3), on obtient un cercle
(4) x'+y'=(xt+p)x+ ^y.
Ce cercle, par son intersection avec la parabole donnée, déterminera le point M.
Exemple 11.— Mener une normale à une ellipse par un point donné P. Soit
(1) a'y'+b'x* — atb* = 0,
l’équation de l’ellipse; en conservant les mêmes notations que dans l’exemple précédent, on voit que le pied M de la nor-
35fl GÉOMÉÎRIE ANALYTIQUE.
male est déterminé par l’intersection de l’ellipse et de l’hÿpcrbole
(i) c'xy^a'Xrf^b'y^.
L’élimination de y conduit à l’équation
(3) x‘— : 2Ïa'1x,+®4(a,xî+&,y*— c*)x*+2^ar,x— ^eî=0-
Si l’on élimine y entre l’équation (1} et celle du cercle (4) (je-- a) •+(>/ — p)*— r"=0,
ou trouve
(3)x*—taic'x1-t-^-(ia’o!,4-tt'?,+-c’pîi.r'— 4a.p’w4--Jpi— c c c c
en posant pour abréger
(6) p’zia’ + p’-r' + ft*.
On ne peut pas en général identifier les équations (3) et (3); car on aurait quatre équations entre les trois paramètres arbitraires a, p, r; mais si l’on remplace dans l’équation (3) x par mx, rn étant un nombre arbitraire, l’identification devient possible. On l’opère en posant
[11 3*=^ i#«a*+4tcp*+2e*p«=l((l1^+«f«ÿî-ic‘),
d’où l’on tire
. a’xî+c' x. „ 1
m = — r' “=r— » tt — l/c*+a* jî ,
b y?+c‘ 2m ibm*
r*=«*-fp*+^+— 4-
Désignons eu outre par f et y les deux quantités -—L- —
la valeur de m* devient
et les lorhiules précédentes se construisent facilement.
Les abscisses des pieds des normales ne sont [tas les mêmes que celles des points de rencontre de l’ellipse et du cercle, mais on les obtient en multipliant les dernières par m.
Si le point 1* vériliait l’équation
LIV. IV, C1IAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS. 357 atx*=b,y\ ou y, = ±£xt,
on aurait m=l ; donc leé points dos deux drolteè y,=± ^ J,
jouissent de cette propriété que les pieds des normales menées par chacun d’eux sont situés sur une circonférence de cercle.
Il est des cas où la construction des solutions de deux équations du second degré à deux inconnues peut être effectuée avec la règle et le compas; nous avons déjà signalé ces cas particuliers quand nous nous sommes occupés de l’intersection de deux courbes du second degré.
