DIRECTION D UNE DROITE

309— Pour déterminer dans l’espace une direction 01, que

l’on peut supposer appartenir à une droite passant à l’origine, on donne les angles a, p, ^ de celte direction avec les trois directions OX, OY, OZ des coordonnées positives. Deux de ces angles ne suffisent pas ; car si l’on décrit autour de OX et de OY deux demi -cônes dont les angles au sommet soient respectivement a et p,ces deux cônes se coupent suivant deux

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, génératrices placées symétriquement par rapport au plan XOY; la connaissance de y est donc indispensable. H est évident d’ailleurs que ces trois angles ne sont pas tous arbitraires, et que, lorsque deux d’entre eux sout connus, le troisième ne peut avoir au plus que deux valeurs distinctes. Au lieu des angles, on peut prendre leurs cosinus, puisque de 0 à n il n’y a qu’un seul angle ayant un cosinus donné. Les sinus, au contraire, laisseraient de l’ambiguïté.

400 — Considérons d’abord le cas où les coordonnées sont rectangulaires. Désignons par x, y, z les coordonnées d’un point quelconque M de la droite 01, et appelons l la distance OM. Les coordonnées du point M sont les arêtes OD, OE, OF du parallélipipède rectangle dont OM est la diagonale, affectées de signes convenables ; ce sont aussi les projections orthogonales de la diagonale OM sur les axes ; on a donc

x—lcosa, y=lcosp, z—l cos y.

Mais on sait que le carré de la diagonale d’un parallélipipède rectangle est égal à la somme des carrés des trois arêtes, ce qui donne

remplaçant x, y, z par leurs valeurs, et supprimant le facteur /*, on obtient la relation

(1) COS’ot + COS’p + COi’y^ \ ,

qui existe entre les cosinus des angles formés par une môme direction avec les axes rectangulaires.

401 — Appelons a', p', Y les angles que fait une seconde direction 01' avec les mêmes axes, et cherchons l’angle Y des deux directions 01, 01'. Les projections de la droite OM et de la ligne brisée ODCM sur la droite OF étant égales, on a

IcOS \=ZXC0Sttl-{-yC0Sp' + Z COsY, ou, eu remplaçant x, y, z par leurs valeurs,

(2) cos V = cos o cos %' + cos p cos p' + cos y cos y.

Les directions 01, OF sont perpendiculaires entre elles, si la condition

(9) cttX: