LIV. V, CHAP. I. — COORDONNÉES

(3) COS «COS*1 +COS$COSp +COS-iCOST' = 0

est vérifiée.

403— Supposons maintenant les coordonnées obliques, et désignons pour X, y-, v les trois angles ^ OZ, ZOX, X0\ , que font les axes deux à deux. En projetant orthogonalement sur chacun des trois axes la droite OM et la ligne brisée ODCM, on a

1lcos«= x+ycosv + zcosy-,

lcos$—xcosv+y +3cosX, lcosf=xcos jx+»/cosX -j-z ; en projetant ces mêmes lignes sur la droite 01, on a (5) l = xcosâ-{~ycosfi-j-zcosy.

Si des équations (1), on tire les valeurs de x, y, z,

COS«i\-COS,y.)+COS^[cOS\COS«-COS'>)+COS'([cOS'tCOS^- c osa) !

(G) x= | — cos t \ZZCos'ii.-coii7+ 2 cos X cos p cos v

et qu'on les substitue dans l’équation (5), On obtient la relation

(7) cos’asin’X+cos’p sin'«+cos^ sin'v+!ïcos«cos$[cos\cosy.—cosv)

+ 2 COSpCOS^COSjxCOS v— C0SX)+2C0SfC0S«(C0SvC0SÀ— COS[a)

=i — cos’X — cosV — cos’v-i-ScosXcosiiCOSv, entre les trois angles formés par une direction quelconque avec les axes obliques.

Si dans l’équation (5) on remplace cos*, cos p, cos y par leurs valeurs tirées des équations (4), on a la formule

(8) 1 1 = x'+ y *+ z ’+2 y z cos X+2 s® cos (t+2 xy cos v,

qui donne la distance OM.

En projetant sur la droite OP la droite OM et la ligne brisée ODCM, on a, comme précédemment,

Icos \=x cos « + y cos p/-f zcos y' ; en remplaçant x, y, z par leurs valeurs (6), on obtient la formule

1 —colt,—C0S,!i.—C0l,v-\-tC0lAC0tlJiC0t*

qui donne l’angle des deux directions.

Iæ dénominateur commun ou le déterminant des formules(G)

peut être mis sous une forme remarquable qu’il est bon de connaître ; on a

t — cos’X — co*V— COS,v+2cOSXcOS(ifOiv = ( t — COS ' X) ( 1 — COS * (i) — cos' X cos * u. — cos ’ v +2 coslcosu. cos v — sin’Xsm’u. — (cosXcosu — cosv)’

= (smXsmu. — cos X cos a+cosv) (smX sin^+cos X cos p. — cosv)

= [cos v — COS (X+fi)] |COS (X — p.)— COS v]

I x+!*+v t^+v— X v+X— (i X-fp— v

— Asm — stn — sm sm — •