LIV. V, CIIAP. II.— TRANSF. DES COORDONNÉES. 37:i

rection des axes, l’origine demeurant la même. Désignons par a, a', a" les cosinus des angles que fait l’axe OX' avec les trois axes OX, OY, OZ, par b, b1, b" et c, d, c" les quantités analogues pour OY' et OZ’, et enfin par X, fx, v les angles YOZ, ZOX, XOY.

Soit M un point quelconque de l’espace; par le point M, menons une parallèle MC à l’axe OZ, et par le point C où cette

droite perce le plan XOY, une parallèle CD à l’axe OY; les trois longueurs OD, DC, CM, prises avec les signes convenables, sont les coordonnées x, y, z du point M, par rapport aux anciens axes. Par le point M menons une parallèle MC' à l’axe OZ', et par le point C' où elle perce le plan X'OY', une parallèle C'D' à l’axe OY' ; les trois longueurs OD', DC', C'M, prises avec les signes convenables, sont les coordonnées x' , y', s' du point M, par rapport aux nouveaux axes. En projetant les deux lignes brisées ODCM, OD C'M, successivement sur chacun des trois axes OX, OY, OZ, on obtient les trois relations

Iar+y cos v -f- z cos jx = a x* + 6 y1 +dz' , xcosv-f-y +zcos \=a/x,+bl ÿ+d z1 , Æcosix+ycosX-f-z —a!'od+b'lyf+dlzl, ■ desquelles on peut déduire pour x, y, z des expressions du premier degré en x', y', z'. Le déterminant de ces équations est le même que celui des équations du n° 402.

Il faut se rappeler que a, a', a" ne sont pas arbitraires, mais liées par une équation de condition; il en est de même de b, b' , b " et de c, d , c". Il y aurait entre ces mêmes quantités trois nouvelles relations, si l'on voulait que les nouveaux axes fussent rectangulaires, ou plus généralement, qu’ils fissent deux à deux des angles donnés.

405— Quand les axes primitifs sont rectangulaires, on a

Fig. «8.

costezzcos p—cos't=cos — 0, les équations (2) se réduisent à

l x—axd+by’ + cz',

(3) < y=alx/+b/y,-\-c’zl,

Alors, les relations entre les cosinus sont

Fig. JÎ9.

Si les nouveaux axes sont aussi rectangulaires, on a en outre les relations

( ab-\-a,b,+a,lb"z= 0,

(S) bc+b,c‘+b"cl, = 0,

( ca+t/a'+d'a"— 0.

Si l’on multiplie les deux membres des équations (3) par a, a', a", puis par b, b', b ", et c, c1, c", et qu'on ajoute, il vient, en ayant égard aux relations (4) et (5),

/ x'=ax+a'y+a''z,

(ü) | ÿ = bx+b,y+b"z,

\ z1 z=cx+c,x + c'/z.

On obtient ces formules directement en projetant les lignes brisées ODCM, OiyC'M sur les axes OX', OY', 07J.

Puisque les nouveaux axes sont rectangulaires, les quantités (a, b, c), (a1, V , &), (a," ,W,c"), qui désignent les cosinus des angles des directions OX,OY, OZ avec les nouveaux axes, doivent satisfaire aux relations

L a* + 6’-j-c’ = 1, i aa' +by +cc' =0,

(7) j a/,+t/i+c'’=l, (8) ] ala',+b'bl,+&c,l= 0,

analogues aux relations (4) et (5).

40®— Des relations précédentes entre les neuf cosinus, on en déduit un grand nombre d’autres parmi lesquelles nous citerons les suivantes, qui sont particulièrement utiles. En éliminant c" entre les deux dernières des équations (3), on a