LIV. V, CHAP. II. — TRANSF. DES COORDONNÉES

a' b" — b! a" ub — bu

et, par symétrie,

aW — b/ a/' a"b — b/' a ab — ba!

vf(a'b,—ba<y+(al,b~brâj'+(ab—ba1)'

Mais on a

[a'b'-ba'')'+[a''b—b'a)'+(ab'—ba!)' =(a,+a',+a"*) [b'+b,+b,')—(ab+a'bl+a"b")'=\ . U en résulte

v ’ aV —b a" a"b—b"a ~~ ab—ba1 *

On prendra l’un ou l’autre signe suivant la disposition du trièdre OXYZ\ Quand on fait coïncider OX' avec OX,OY' avec OY, OZ' prendra la direction OZ ou la direction opposée. Dans le premier cas, puisque a=.U =c" = 1, af=a"=b=b"=c= &=0, il faut prendre le signe + ; dans le second cas, le signe — . Ces formules (9) déterminent une direction OZ' perpendiculaire à deux droites rectangulaires OX', OY'.

FORMULES n’EULER.

40 T — Les formules précédentes, pour passer d’un système rectangulaire à un autre également rectangulaire, offrent l’avantage d’être symétriques par rapport aux angles ; mais, quoique les angles soient au nombre de neuf, il n’y en a réellement que trois arbitraires, c’est pourquoi il ne faut ja- -mais perdre de vue les relations qui les lient. Cette dépendance des neuf cosinus est, dans certains cas, un obstacle à constater l’identité de deux expressions. On a donc cherché des formules, dans lesquelles n’entrent que trois constantes; le choix de celles-ci était naturellement indiqué dans plusieurs questions de mécanique et d’astronomie, où l’on emploie de préférence les nouvelles formules.

On peut déterminer la position des nouveaux axes par l’an-

gle } que fuit avec OX la trace OA du plan X'OY' sur le plan

XOY, l’inclinaison 0 du plan X'OY' sur le plan XOY, inclinaison mesurée par l’angle ZOZ', enfin l'angle <p de l’axe OX' avec la trace OA.

Or, il est possible d’amener le premier système sur le second , par trois rotations FiB. î3o. successives. Faisons tourner

d’abord les axes primitifs de l’angle <}< autour de OZ; tandis que l’axe OZ reste immobile, les axes OX et OY tournent dans leur plan de l’angle >J<; l’axe OX vient donc occuper la position OA ou OX,, et OY une certaine jiosition OY,. Remarquons que l’axe OZ', perpendiculaire sur le plan X'OY', et par suite sur la trace OA, est contenu dans le plan Y,OZ perpendiculaire à OA. Actuellement , faisons tourner de l’angle 8 autour de OA; tandis que l’axe OX, reste immobile, les deux axes OY, et OZ tournent dans leur plan de l’angle 8; donc OZ vient occuper la position OZ', et OY, une certaine position OY,. Remarquons que les plans X,OY, et X'OY', tous deux perpendiculaires sur OZ', coïncident. Enfin, faisons tourner de l’angle <? autour de OZ'; puisque les deux axes 0X„ OY, tournent dans leur plan de l’angle ? , il en résulte que OX, vient se placer sur OX', et OY, sur OY'. Après ces trois rotations successives, les axes primitifs coïncident avec les axes nouveaux.

On a, de cette manière, quatre systèmes d’axes à considérer, savoir : OXYZ, OX,Y,Z, OX,Y,Z', OX'Y'Z'.

Puisque deux systèmes consécutifs ont un axe commun, on • passera de l’un à l’autre par les formules de transformation employées dans la Géométrie plane. On a ainsi, pour les transformations successives,

— y, tin b, yt=y,cot 8 — z'stnO, x^x'cos? — y' tint p, y=ar,sfniJ<-fy1coi'|/, z = y,sin 8+ï'cosO, yj=x,siny-\-y'cosy.

L’élimination des auxiliaires .r,, y„ y, donne