ANGLES DE LA NORMALE AU PLAN AVEC LES AXES

490 — Jusqu’à présent nous n’avons fait aucune hypothèse sur les coordonnées ; dans ce qui suit , nous supposerons les coordonnées rectangulaires. Soit

\x By -}- Cw -{- D — 0

l’équation d’un plan; les coordonnées a, b, c des points P, Q, R, où ce plan coupe les axes, sont données par les formules

z De l’origine 0 abaissons une

perpendiculaire OL sur le plan r (fig. 235), et joignons le pied L

/ \\ de la perpendiculaire aux points

/ \i. \ P, Q,R, de manière à former

/ '' x trois triangles rectangles OLP,

/A ^ ' i* 1 OLQ, OLR. La distance OL, que

nous désignerons par l , est la projection sur la droite OL des Fig. 235. droites OP , OQ , OU ; on a donc

l=acos«— beos $=:c cos y; et, en remplaçant a, b, c par leurs valeurs,

__ l COS* COS 3 COS y

Chacun de ces rapports est égal au nouveau rapport

y/ COS'a+COS ’ P+COS* y ^ t

en vertu de la relation cos*a+cos,p-(-cosîY=t. On en déduit (7) C0Sa C0SP cos Y 1

Ces formules déterminent les angles que fait la normale au plan avec les axes des coordonnées, et par conséquent les angles que fait le plan avec les plans des coordonnées. Le double signe se rapporte aux deux directions opposées de la normale.

angle de deux plans.

421 —Soient

Ax + By + Ci + D=0, A'ar+ B'y +C/z + D/=0 les équations des deux plans. L'angle cherché est égal à l’angle des normales menées de l'origine aux deux plans donnés. Désignons par a, p, y les angles que fait avec les axes la première normale, par a', p', Y les angles de la seconde normale, et par V l’angle cherché. Les axes étant supposés rectangulaires, on a (n° A01)

cos X =cos a cos a' 4- cos p cos p' 4 cos y cos f ; d’où, en vertu des formules (7),

,8) cos\=Y~ AA'+BB'+CC’