LIV. I, CHAP. III. -DE L’HOMOGÉNÉITÉ

déterminées jouit de celle propriété que la somme des nombres qui, avec l'unité choisie, expriment les mesures de sa surface et de son volume, est égale à la somme des nombres qui expriment les mesures de la surface d’une sphère et du volume d’une autre sphère; mais la même relation n’a plus lieu quand l’unité linéaire change.

L’équation (7) ne peut être vérifiée par les mesures des mêmes lignes, quand on fait varier arbitrairement l’unité de longueur, qu’autant que ces lignes satisfont aux équations (5) et (6) prises isolément.

45 — Dans la résolution des problèmes de géométrie on ne fait jamais de combinaisons d’équations analogues à la précédente. Les équations que donnent immédiatement les théorèmes de la géométrie élémentaire sont homogènes; et, quand on ajoute deux équations membre à membre, c’est afin d’obtenir une nouvelle équation plus simple que l’une des proposées; pour cela, il faut d'abord que les équations que l’on ajoute soient du même degré. Le principe de l’homogénéité pourra donc servir à chaque instant à vérifier les transformations algébriques effectuées.

46— Lorsqu’on prend pour unité de longueur une des lignes de la figure, les équations cessent d’être homogènes; mais il est facile de rétablir l’homogénéité. Soit (8) F [V, 0,

l’équation obtenue en prenant pour unité la ligne A, les lettres b', c',... désignant les mesures des lignes B, C,... rapportées à A. Laissons l'unité arbitraire et appelons a, b, c,... les mesures des lignes A, B, C...; on a

d’où

et l’équation (8) se transforme dans la suivante

br. 3

qui est homogène.

Ainsi, par exemple, si l'on rapporte les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle à l’hypoténuse de ce triangle (irise pour unité, les mesures des côtés vérifient l’équation non homogène

de laquelle on déduit l’équation homogène

fcs c»

ou ô’ + c^a*.

en remplaçant b' par — et c7 par

Les courbes, ellipse, hyperbole, parabole, cissoïde, etc., étudiées dans le chapitre précédent, sont définies chacune par une équation homogène. Une équation homogène quelconque f(x, y, o, b,c,...)= 0,

entre les coordonnées x et y d’un point du plan et les longueurs a, b, c... de diverses droites, détermine une courbe, dont la position et les dimensions sont indépendantes de l’unité avec laquelle on mesure les lignes. Considérons au contraire une équation numérique entre x et y, f{x, y) = 0,

c’est-à-dire une équation ne renfermant pas d’autres lettres que x et y, et supposons celte équation non homogène. Pour représenter par des points du plan les solutions réelles du celle équation, il faut commencer par choisir arbitrairement une échelle ou la ligne dont la longueur a pour mesure l’unité. Or, quand l’échelle varie, la ligne ne reste plus la même, nous verrons plus tard que les diverses courbes ainsi obtenues ont des analogies remarquables; ce sont des courbes qu’on appelle homothétiques.

4 7 — remarque I. Il arrive souvent que t on con-idère dans une même question des nombres qui expriment îles mesures de ligne, de surface et de volume; les unités de surface et