PAR CNE DROITB DONNÉE MENER UN PLAN PERPENDICULAIRE A UN PLAN DONNÉ

430 — Soient

j Ax -j- By -(* Gz 4" D — 0,

[ A'x+B'y+C'z+D'zrO, les équations de la droite donnée,

celle du plan donné. Le plan cherché, passant par la droite, a une équation de la forme

Ax + By + Cz + D + X ( A'x + B'y -f- C'z + DO = 0.

L1V. V, CHAI». III. — DK LA LIGNE DROITE. 393 Ce pian sera perpendiculaire au plan donné, si la condition A" (A + XA') + B" (B + XBO + C" (C+XC')=0 est vérifiée (n°421), les axes étant supposés rectangulaires; on en déduit

et le plan cherché a pour équation ( 1 0) (VA"+» B"-(-C'C")(Ax+Bv+Cj+D)=(A"A+B-'B4-C;'C)(A'i+Bÿ+C *+D •) .

Les trois plans donnés forment un trièdre; par l’une des arêtes nous avons mené un plan perpendiculaire à la face opposée. Les plans menés par chacune des autres arêtes perpendiculairement à la face opposée ont de même pour équations (A''A+B,'B+C"C)(A'x-(-B'ÿ+C'i+D'l=(AA,+BB'+‘;c'dA''^+B''l/-K-'-+D''),

(AA'-j-BB' -fCC ')(A"x+irÿ-|-C’;+I>'’)=(A 'A"+B'B'+C 'C"; (Ax+Bÿ+Cî-j-D) . En ajoutant les deux premières équations membre à membre, on trouve la troisième ; on en conclut que les trois plans passent par une même droite.

ANGLES d’lNE DROITE AVEC LES AXES.

431— Dans les questions que nous avons traitées jusqu’à présent sur la ligne droite, excepté dans la question précédente, nous n’avons fait aucune hypothèse sur les coordonnées ; dans ce qui suit , nous supposerons les coordonnées rectangulaires.

Soient

x=az + p, y = bz+q

les équations d’une droite. La parallèle OL menée par l’origine (tig. 23t>) aura pour équations

x=az, y —bz.

■ Désignons par b, p, y les angles que fait la droite OL avec les axes. Prenons sur cette droite un point M, situé à une distance / de l’origine. Les coordonnées x, y, z du point M étant les projections orthogonales de la droite OM sur les axes, on a

x — l cos b , y=l cosp , z=t cos y,

et par suite

COS a COS P cos y

Le point M étant sur la droite OL, on a ar=az, y—bz; on en déduit

COS a COS p COS Y

az bz z

ou, en multipliant par z ces rapports égaux,

COSa COS p COS y

Chacun de ces rapports étant égal au rapport

l/cOS’o-J-COS* P+COS’y I /d' + b' + l on a les formules

COSa COS p COS Y (U) = — ; — =

abc

qui déterminent les angles que fait la droite donnée avec les axes. Le double signe se rapporte aux deux directions de la droite.

PAR UN POINT MENER CNE DROITE QUI FASSE AVEC LES AXES DES ANGLES DONNÉS.

432 — Proposons-nous de mener par le point M', dont les coordonnées sont x1’, y1, z', une droite qui fasse avec les axes des coordonnées rectangulaires les angles a, p, y. La droite cherchée est représentée par des équations de la forme

Mais on a

COSa

cosp

COS y

apports égaux deux à deux

COSa C0Sp COSy

On peut obtenir directement ces équations; si l'on désigne par x, ij, z les coordonnées d’un point quelconque M de la