LIV. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES

(xt, y„, jk0) î l’ensemble de ces droites forme une surface conique.

Cependant, si l’équation ©(«, 8)=0 n’avait qu’un nombre limité de solutions réelles, on n’aurait qu’un nombre limité de droites. Dans le cas où cette équation n’a pas de solutions réelles, il peut arriver que l’équation (3) soit vérifiée par les valeurs x0, y0, i0 ; alors elle représente un point unique.

Quand on place l’origine des coordonnées au sommet du cône , l’équation de la surface conique se réduit à la forme

« Kî- !)=»•

C'est une équation homogène entre les trois coordonnées a-, y, s-

450— Considérons le cas où la directrice est une courbe plane. Prenons le sommet du cône pour origine des coordonnées, et supposons le plan XOY parallèle au plan de la courbe. Soient z=c, 9 (x, y)=0 les équations de la directrice, x—iz, y= jiz, celles de la génératrice ; la trace de la génératrice sur le plan de la directrice ayant pour coordonnées z—c,x— «c, y = pc, pour que ce point C appartienne à la directrice il faut que l’équation de condition Fig. 240. ç («c, pc)=0 soit vérifiée. En éli-

minant a et p entre cette équation et celles de la génératrice, on obtient l’équation de la surface conique

On voit que, si la directrice plane est algébrique et de l’ordre m, la surface conique est aussi algébrique et de l’ordre m.

SURFACES COISOÏDES.

451— On appelle surface conoïde une surface engendrée

par unedroile qui sc meut en restant constamment parallèle à un même plan que l’on nomme plan directeur, et en glissant sur une droite fixe appelée axe du conoïde et sur une seconde directrice quelconque.

Prenons la directrice rectiligne pour axe des z, et supposons le plan XOY parallèle au plan directeur. La génératrice sera représentée par des équations de la forme

La directrice donnera une équation de condition 9 (a, [J)=0 entre les deux paramètres variables a et 8. La surface conoïde aura pour équation

459 — Supposons que l’axe OZ soit perpendiculaire

au plan directeur (fig. 241), et que la directrice soit un cercle dont le plan soit aussi perpendiculaire au plan directeur. Faisons passer l’axe OX par le centre G du cercle ; ce cercle parallèle au plan

YOZ aura des équations de la forme

Pour que la génératrice GH s’appuie sur le cercle, il faut que les paramètres a et fs satisfassent à la relation a* u’rrrr1.

Le conoïde est donc représenté par l'équation du quatrième degré

xizî -f- a- y' — rixt=0.

Si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan direc-