CHAPITRE III

De l'EUlpaoïde.

494— Nous avons ramené l’équaiion des surfaces du second degré qui ont un centre unique à la forme Sar’ + Sy +S"z’=H,

en rapportant la surface à scs trois plans principaux.

Supposons d’abord que les trois racines aient le même signe, par exemple le signe +. Si le terme constant II est négatif, l’équation n’est vérifiée par les coordonnées d’aucun point de l’espace. Si le terme constant H est égal à zéro, l’équation n’est satisfaite que pour x = y=s = 0; elle représente un seul point, l’origine. Considérons enfin le cas où H est plus grand que zéro, et posons

l’équation se met sous la forme

La coordonnée x ne peut varier que de — a à + a, y de — b à + b, z de — eà-fc; prenons sur l’axe des x, de part et d'autre de l'origine, des longueurs OA et OA' égales à a, sur l’axe des y deux longueurs OB et OB' égales à b, sur l’axe des : deux longueurs OC et OC' égales à c (fig. 247). Par les points A et A', B et B', C et C', imaginons des plans respectivement parallèles aux plans YOZ, ZOX, XOY, la surface sera entièrement comprise dans le parallélipipède rectangle ainsi formé. On a donné à cette surface le nom d 'ellipsoïde.

495 — L’origine est un centre de l’ellipsoïde. Les plans coordonnés, qui sont les trois plans principaux de l’ellipsoïde, coupent la surface suivant trois ellipses ABA',BCB', CAC', que l’on appelle sections principales de l’ellipsoïde.

un. 20

ii<; GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan YOZ, on obtient pour section l’ellipse

dont le centre I est sur l’axe des x. Les points de la courbe étant deux à deux symétriques par rapport au centre I, les ~ ; points de la surface sont symé-

ne- triques deux à deux par rapport à la droite OX, qui est ainsi un axe de la surface. A mesure que le plan sécant s’éloigne du plan principal YOZ, c’est-à-dire quand x varie de 0 à a, l’ellipse d’intersection reste toujours semblable à l’ellipse CRC’, mais diminue jusqu'à se réduire à un point. 11 en est de même des sections parallèles à chacun des deux autres plans principaux. Ainsi l’ellipsoïde admet trois axes qui sont les intersections des plans principaux deux a deux. Les extrémités des axes sont les sommels de l’ellipsoïde. Si Ton suppose a>t>c, 2a sera Taxe majeur, 2 b Taxe moyen, 2c Taxe mineur.

490—11 est clair qu’un plan quelconque coupe l'ellipsoïde suivant une courbe fermée; cette courbe du second degré est une ellipse. Coupons la surrace par un plan quelconque mené par le grand axe A.V (fig. 218); à cause de la symétrie, l’ellipse d’intersection admettra pour axes, d’une part la droite AA', d’autre part le diamètre DD', suivant lequel le plan sécant

coupe l’ellipse principale CBC'B'; ce sera donc une ellipse ayant AA’ pour grand axe et DD' pour petit axe. Il en résulte que le demi grand axe OA est le plus grand rayon de l’ellipsoïde.

De même, un plan quelconque mené par le petit axe CC' cuuellipse, ayant pour petit axe CC'

Fiü. 248.

pera la surface suivant une

L1V.VI, CHAI*. III. — DE L’ELUPSOlbE. U~ et pour grand axe le diamètre EE', intersection de l’ellipse principale ABA' et du plan sécant. 11 en résulte que le demi petit axe OC est le plus pelit rayon de l’ellipsoïde.

De même encore, un plan mené par l’axe moyen BB' coupera la surface suivant une ellipse ayant pour axes la droite BB' et l’un des diamètres de l’ellipse principale ACA'; mais ici ce second axe sera tantôt plus grand que BB7, tantôt plus petit; il peut même devenir égal à BB', et dans ce cas la section sera un cercle.

PLANS DIAMÉTRAUX.

49r-Considérons une série de cordes parallèles à la droite

le plan diamétral correspondant (n° 471) a pour équation

Réciproquement, tout plan passant par le centre est un plan diamétral; soit le plan

Aa:+By+C: = 0;

ce plan coïncidera avec le plan diamétral précédent, si l’on a

Telles sont les relations qui existent entre la direction di s cordes et celle du plan diamétral conjugué. 11 est évident que le plan diamétral coujte la surface suivant une courbe fermée du second degré et par conséquent suivant une ellipse. Chaque point de celte ellipse est le point de contact d'une droite parallèle aux cordes et tangente à la surface; ces tangentes forment un cylindre tangent à l’ellipsoïde tout le long de cette ellipse et l’enveloppant.

DIAMÈTRES

4»S— Nous savons que les sections faites par des plans

parallèles dans l’ellipsoïde sont des ellipses homothétiques (n° 407) ; cherchons le lieu des centres de ces ellipses. Soit Ax+By+C= — 1 1

l’équation d’un plan, dans laquelle A, B, C sont des coefficients constants, I un paramètre variable. Si l’on élimine s entre cette équation et celle de l’ellipsoïde, on a l’équation de la projection de la courbe d’intersection sur le plan XOY, x> , i/* , (Ax+By— i) * ,