DIAMÈTRES CONJUGUÉS

500— On dit que trois diamètres forment un système de diamètres conjugués , quand chacun d’eux est conjugué du plan des deux autres. Nous avons déjà reconnu l’existence de pareils systèmes de diamètres (n° 479) ; menons arbitrairement un premier diamètre 01) et considérons le plan diamétral conjugué; ce plan coupe l’ellipsoïde suivant une ellipse; prenons deux diamètres conjugués quelconques OE, OF de

cette ellipse; les trois diamètres ' 01), OE, OF formeront un système de diamètres conjugués ; car si l’on prend pour axes des coordonnées les trois droites OD, OE, OF et que l’on appelle a1, b c' les longueurs des trois rayons OD, OE, OF, d’après le raisonnement qui a été fait précédemment, l’équation de l’ellipsoïde se mettra sous la forme

On en conclut que les trois axes des coordonnées forment un système de diamètres conjugués, ou, ce qui revient au même, que les trois plans des coordonnées forment un système de plans diamétraux conjugués.

On voit bien, à l’aide de cette équation, comment varient

Fig. 249.

les sections parallèles; si l’on coupe la surface par un plan

parallèle au plan diamétral Y'OZ', on a une ellipse

homothétique à l’ellipse diamétrale KO F et ayant son centre au point 1 sur le diamètre OD ; cette ellipse va en diminuant à mesure que le plan sécant s'éloigne du plan diamétral; elle se réduit au point 1), quand le plan sécant passe par ce point et alors le plan est langent à la surface; au delà le plan ne rencontre plus lu surface; en d’autres termes, il la coupe suivant une ellipse imaginaire dont le centre est réel et situé sur le prolongement de OD. Il en est de môme de l’autre côté.

501 — Cherchons maintenant les relations qui existent entre les directions des trois diamètres conjugués 01), OE, OF. Désignons par a, p, y les coefficients du premier diamètre, par p', f ceux du second, par «•■, P", y'ceux du troisième. Le plan conjugué du diamètre OD a pour équation

ce plan contenant le diamètre OE, on a la relation

ax

On obtient ainsi les trois relations

îi +Mi+jr=0

aV

L+^+nr=0

qui expriment que chaque diamètre est conjugué du plan des deux autres.

La première de ces relations signifie que les deux diamètres OD, OE sont conjugués entre eux.

503 — Considérons deux systèmes de diamètres conjugués ODEF, OD E F' (lig. 230). Soit OG le diamètre suivant lequel se

LIV. VI, CHAP. III. — DE L’ELLIPSOII»E. Aol coupent les deux plans EOF, EOF', OH et OU' les diamètres conjugués de OG dans ces deux plans. Si, conservant OD, on remplace les diamètres conjugués O K, OF par deux autres diamètres conjugués OG, OH de la même ellipse, la somme des carrés ne change pas; de même, si , conservant Oiy , on remplace' les deux diamètres conjugués OE', OF' Fis- 25°- par deux autres diamètres conjugués

OG, Oïl' de latnème ellipse, la somme des carrés ne change pas. On a alors deux systèmes de diamètres conjugués OGHD,OGH'D', «lui ont un diamètre commun OG; les deux autres, étant situés dans le plan diamétral conjugué de OG, appartiennent à la meme ellipse. Donc la somme des carrés est la même. Ainsi la somme des carrés de trois diamètres conjugues est constante et par conséquent égale à la somme des carrés des axes.

On démontre de la meme manière que le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués est constant; lorsqu'on remplace le système ODEF par le système ODG1I, le volume ne change pas; car les deux parallélipipèdes ont des hases équivalentes, les parallélogrammes EOF, GOH, et même hauteur , la perpendiculaire abaissée du point D sur le plan des buses.

SECTIONS CIRCULAIRES

503 — Parmi les sections pianos de l’ellipsoïde, il importe d examiner surtout les sections circulaires. Supposons qu’un plan diamétral coupe l’ellipsoïde suivant un cercle; soit OD le diamètre conjugué; si, dans le plan du cercle, on prend la projection OE de 01) et un diamètre OF perpendiculaire à OE, on aura un système de trois diamètres conjugués; or, le diamètre OF est perpendiculaire au plan diamétral conjugué DUE; donc ce plan est un plan principal et OF l’un des axes de la surface. Ainsi les plans

diamétraux qui coupent l’ellipsoïde suivant des cercles, passent par l’un des axes de la surface.

Cet axe est l'axe moyen BB' de l’ellipsoïde; car, nous avons vu (n° 496) que, lorsque le plan sécant passe par le grand axe AA’, ou par le petit axe CC', les deux axes de l’ellipsoïde diffèrent nécessairement.

Lorsque le plan sécant passe par l’axe moyen BB’, les deux axes de l’ellipse d’intersection sont l’axe BB' et le diamètre DD* suivant lequel le plan sécant coupe l’ellipse principale ACA'. La longueur de ce diamètre DD' variant de .* CC' à AA-, pourra être égale à BB', et alors la section sera un cercle.

Du point O comme centre, avec un Fig. tst. rayon égal à 6 et dans le plan prin-

cipal ACA' décrivons un arc de cercle qui coupera l’ellipse principale en I) etE; menons les diamètres OD et OE ; les deux plans diamétraux BOD, BOE couperont l’ellipsoïde suivant des cercles. On conclut dé là que l’ellipsoïde à trois axes inégaux; admet deux séries de sections circulaires.

Quand l’ellipsoïde est de révolution, les deux plans BOD, BOE se confondent avec le plan principal perpendiculaire à Taxe de rotation, c’est-à-dire avec l’équateur de la surface. On n’a plus alors qu’une série de sections circulaires.