II

Fig. 253.

... X ’ tt»

tang'a tangtfi

Le plan principal XOZ coupe la surface suivant deux droites Z) OA, OA' faisant avec OZ un angle égal à

N . J a; le plan principal YOZ suivant deux j droites OR, OB’ faisant avec OZ un angle

‘T*\'Tj/ égal à p. Le plan principal XOY coupe la \ \ / ;/ surface suivant un seul point O. Tout plan

v // parallèle au plan XOY donne une ellipse

/ ABA' ayant pour équation

^ tang1a ~ lang'fi ’

Fig. iss. cette ellipse qui a son centre 1 sur l’axe OZ, augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s’éloigne du sommet. Ainsi le lieu est un cône que l’on peut considérer comine engendré par une droite OM, qui tourne autour du sommet en glissant sur l’ellipse ABA'. En supposant S plus petit que S' et, par conséquent, a plus grand que p, on voit que l’angle que fait la génératrice 0.V1 avec l’axe OZ varie de a à p. Le cône est formé de deux nappes égales situées de part et d'autre du sommet. L’équation des cônes du second degré se ramenant à la forme (1), il en résulte que tout cône du second degré peut être considéré comme un cône droit à base elliptique.

Les plans perpendiculaires à chacun des deux autres axes OX et OY coupent le cône suivant des hyperboles ayant leurs centres sur ces axes. Les trois axes des coordonnées sont des

axes du cône; l’un OZ est situé à l’intérieur du cône, les deux autres a l’extérieur. Par rapport à chacun de ceux-ci, un point quelconque du cône a son symétrique sur l’autre nappe;

par rapport au premier, un point a son symétrique sur la même nappe.

HYPEBBOLOÏDE A CNE NAPPE.

505 — Supposons que le terme constant H ait une valeur positive et [>osons

l’équation de la surface prendra la forme

Le plan principal XOY coupe la surface suivant une ellipse ABA1; le plan principal XOZ suivant une hyperbole dont A'A est l’axe transverso et OZ l’axe imaginaire, le plan principal YOZ coupe de même la surface suivant une hyperbole dont BB'est l’axe transverse et OZ l’axe imaginaire. Si l’on coupe la surface par des plans parallèles au plan XOY, on a des ellipses homothétiques x’ v* *’

a* ^ 6* T c* i qui ont leurs centres sur OZ. et qui

Fie. jm. vont en augmentant indéfiniment

à mesure que le plan sécant s’éloigne du plan principal d'un côté ou de l’autre ; l’ellipse minimum ABA' déterminée par le plan principal s'appelle ellipse de gorge. On voit par là que la surface est formée d’une seule nappe continue qui s’étend indéfiniment en s’ouvrant de plus en plus de chaque côté du plan de l’ellipse de gorge. On adonné àcetle surface le nom d ' hijperboloïde à une nappe.

Les plans parallèles au plan XOZ coupent la surface suivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur OY ; de même les plans parallèles au plan YOZ coupcut la surface suivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur

LIV. VI, CHAP. IV.— DES HYPERBOLOIDES. 485 OX. Il résulte de là que l'hyperboloïde à une nappe admet trois axes, deux réels AA et BIP, un imaginaire OZ. Les deux axes réels sont les axes de l’ellipse de gorge; l’axe imaginaltu OZ est situé à l’intérieur de la surface.

Lorsque les deux axes réels deviennent égaux, les sections parallèles au plan XOY étant des cercles, la surface est de révolution; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe imaginaire OZ.

IIYPBHBOLOÏDK A DEUX NAPPES.

506— E xaminous entiu le cas où le terme constant 11 a une valeur négative ; si l’on pose

l’équation prend la forme

Les deux plans principaux XOZ, Y’OZ coupent la surface suivant des hyperboles dont l’axe transverse CC' a une longueur égale à ’2c et est dirigé suivant l’axe OZ. Le plan principal XOY ne rencontre pas la surface. La section faite 1 par un plan parallèle au plan XOY est une ellipse

a « b 1 ci ’

mais cette ellipse n'est réelle que si la valeur absolue de : est plus grande que c ; si donc par chacun des points C et C ' on mène un plan parallèle au plan XOY, il n’y aura aucun point du lieu situé entre ces deux plans. Si le plan sécant s’éloigne à partir du point C, l’ellipse, qui est d’abord réduile à un point, augmente indéfiniment; et du môme de l’autre côté, à partir du point C'. Ou voit par là que la surface se compose de deux nappes infinies et séparées

l’une de l’autre; on lui a donné le nom d’hyperboloide à deux nappes. La surface a trois axes, un réel CC', deux imaginaires OX et OY.

Quand les deux axes imaginaires 2a et 2 b deviennent égaux, la surface est de révolution ; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe transverse CC'.

CONE ASYMPTOTE.

x 1 Ut zt

t- — — rfc t ,

et que nous nommerons hyperlx)loïdes conjugués; tout rayon réel de l’un est imaginaire dans l’autre, et a même longueur. Un plan sécant mené par l’axe OZ coupe ces deux surfaces suivant des hyperboles conjuguées; l’hvpcrbole située sur l’hyperboloïdc à deux nappes a pour axe transverse CC' ; celle qui est siluée sur l’hyperboloïdc à une nappe a pour axe transverse le diamètre suivant lequel le plan sécant coupe l’ellipse de gorge.

Soit y=mx l’équation du plan sécant; l’équation

provenant de l’élimination de y donne les projections des courbes d’intersection sur le plan XOZ; ces courbes projections sont des hyperboles ayant pour asymptotes communes

rie. î56. a 1 1 b*

Si à cette équation on joint celle du plan sécant y=mx , on aura les asymptotes des hyperboles dans l’espace. Imaginons actuellement que le plan sécant tourne autour de l’axe OZ; ces asymptotes décriront un cône que nous appellerons cône asymptote des hyperboloïdes ; on obtient son équation en éli-

LIV. IV, CHAP. IV.- DES HYPEHBOLOIDES. 457 minant le paramètre variable m entre les deux équations précédentes, ce qui donne

508— Plus généralement le cône asymptote est le lieu des asymptotes de toutes les hyperboles déterminées dans les deux surfaces par des plans passant par le centre. En effet, soit z=mx+ ny l’équation du plan sécant, les courbes d’intersection ont pour projections sur le plan XOY

x' , y ' (mx+ny)* ,

les asymptotes sont données par l’équation

y ' ( mx+ny )*

jointe à celle du plan sécant. Il arrive ici que l’on peut éliminer à la fois les deux paramètres variables m et n entre ces équations, ce qui reproduit le cône asymptote x1 v*

Les deux hyperboloïdes conjugués ont même cône asymptote. L’hyperboloïde à deux nappes est situé à l’intérieur du cône, l’byperboloïde à une nappe à l’extérieur.