SECTIONS PI.ANES

509 — Considérons les surfaces représentées par l’équation

dans laquelle X est un paramètre arbitraire. On a les deux hyperboloïdes ou le cône asymptote, quand on attribue au paramètre X les valeurs ±1 ou la valeur 0. Si l’on coupe ces surfaces par un même plan

Ax-j-Bÿ4"C- — l ,

les projections des courbes d’intersection sur le plan XOY ont pour équation

x* y* (/— Ax— Bi/)1 a7 + b' c’C* —A’

Aî.K GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

le paramètre X n’entrant que dans le terme constant, il en résulte que les courbes projections, et par suite les courbes dans l’espace, sont homothétiques; car ce sont les intersections de cylindres homothétiques par des plans parallèles (n°A66); elles sont en outre concentriques, si elles ont un centre; quand ce sont des paraboles, elles ont même paramètre, et par conséquent sont égales.

510 — 11 résulte de là que pour reconnaître l’espèce de la section d’un hyperboloïde par un plan , il suffit d’étudier la section du cône asymptote par le même plan. On sait d’ailleurs que les sections parallèles sont homothétiques.

I’ar le centre, menons un plan parallèle au plan sécant; il y a trois cas à distinguer. 1° Si le plan mené par le centre ne coupe le cône qu’en un seul point, les deux nappes du cône sont situées, l’une d’un côté de ce plan, l’autre de l’autre ; il est clair que tout plan parallèle coupera toutes les droites d’une même nappe et par conséquent déterminera sur le cône une courbe fermée qui sera une ellipse ; les sections faites par ce même plan dans les hyperboloïdes seront aussi des ellipses. 2» Si le plan mené par le centre coupe le cône suivant deux droites, il partage chacune des nappes en deux parties situées départ et d’autre du plan; tout plan parallèle rencontrera la partie de chacune des nappes qui est du même côté que ce plan, et par conséquent coupera le cône suivant deux branches séparées et s’étendant indéfiniment; car si une génératrice du cône se rapproche de l’une des génératrices déterminées par le plan mené par le centre, elle devient parallèle nu plan sécant, et le point d'intersection s’éloigne à l’infini; la courbe est donc une hyperbole. Cette hyperbole aura ses asymptotes parallèles aux droites déterminées par le pian passant par le centre. 3° Enfin, si le plan mené par le centre est langent aucune asymptote, l’une des nappes du cône sera située tout entière d’un côté du plan, l’autre nappe de l’autre côté, excepté l’arête de contact, qui est dans le plan; uu plan parallèle ne rencontrera que la nappe qui est du même côté que ce plan et la cou-