LIV. VI, CHAP. IV.— DES IlYPERliOLOlDES

pora suivant une brandie infinie ; la courbe sera une parabole.

Nous examinerons plus tard en détail les diverses variétés que présentent ces courbes, et leur déformation quand on fait mouvoir le plan sécant.

PLANS PI AMKTRAl'X.

511 — Considérons les surfaces représentées par l'équation

dans laquelle X est un paramètre arbitraire, et qui donne le cône asymptote ou les deux hyperboloïdes, quand on attribue au paramètre X la valeur 0 ou les valeurs ±t.

Le plan diamétral conjugué de la droite

a pour équation

üf 4 Pv V* 0

Ce plan est le même dans les deux hyperboloïdes et dans le cône asymptote. On pourrait d’ailleurs le reconnaître à priori. En effet, considérons une sécante qui rencontre le cône en deux points; le plan mené par cette sécante et le centre coupe le cône suivant les asymptotes des hyperboles déterminées par ce plan dans les hyperboloïdes; les portions de celte sécante comprises entre les hyperboles et les asymptotes étant égales, il en résulte que les cordes ont même point milieu.

512 — L’espèce de la section déterminée par le plan diamétral dépend de la direction des cordes. Par le centre, menons une parallèle aux cordes; si cette droite est située à l’intérieur du cône asymptote , il est évident que chaque sécante rencontre les deux nappes du cône et, par conséquent, le point milieu est entre les deux nappes ; le plan diamétral, ayant tous ses points entre les deux nappes, coupe le cône suivant un point. L’hyperboloïde à une nappe, étant situé à l’extérieur du cône asymptote, sera coupé par le plan diamétral suivant une ellipse réelle; cette ellipse est la courbe

de contact d’un cylindre ayant ses génératrices parallèles aux sécantes et circonscrit à l’hyperboloïde; le cylindre circonscrit est situé à l’intérieur de l’hyperboloïde. L’hyperboloïde à deux nappes étant situé, au contraire, à l’intérieur du cône asymptote, le plan diamétral ne rencontre pas la surface; aucune des sécantes ne devient tangente, et il n’existe pas de cylindre circonscrit dans cette direction.

Si la droite menée par le centre est située à l’extérieur du cône asymptote, une parallèle percera une même nappe en deux points et, par conséquent, le point milieu sera situé à l’intérieur du cône; le plan diamétral, pénétrant à l'intérieur du cône, coupera ce cône suivant deux droites, et, par conséquent, les hyperboloi'des suivant des hyperboles conjuguées. Chacune de ces hyperboles sera la courbe de contact d’un cylindre circonscrit.

513-11 est un cas où il n’y a plus à proprement parler de plan diamétral; c’est lorsque la droite menée par le centre appartient au cône asymptote; dans ce cas, toute parallèle ne rencontre la surface qu’en un point et le point milieu est à l'infini. Cependant l'équation (6) représente encore un plan passant par le centre ; c'est la position limite vers laquelle tend le plan diamétral, quand la droite (5) se rapproche de plus en plus du cône. Le plan tangent au cône a pour équation xX , yY zt

si le point de contact appartient à la droite (5) , cette équation devient

pY jfZ

c’est l’équation (0); ainsi quand les sécantes deviennent parallèles à une arête du cône asymptote, le plan diamétral coïncide avec le plan tangent au cône suivant cette arête.

DIAMETRES.

514— Les sections faites dans les hyperboloi'des et dans le cône asymptote par un même plan étant concentriques, le lieu