LIV. VI, CHAP. IV. -DES HYPERBOLOIDES

des centres des sections parallèles est le même dans les hypcrboloïdes et dans le cône ; or, il est évident, à cause de la similitude, que dans le cône ce lieu est une droite passant par le sommet du cône.

Lorsque les sections sont des ellipses, le lieu des centres, ou le diamètre, étant situé à l’intérieur du cône, rencontre l’hyperboloïde à deux nappes, mais ne rencontre pas l’hyperboloïde à une nappe. Lorsque les sections sont des hyperboles, le diamètre étant à l’extérieur du cône, rencontre, au contraire, l’byperboloïde à une nappe et ne rencontre pas l’iiyperboloïde à deux nappes.

On obtient un système de trois diamètres conjugués de l’hyperboloïde à une nappe en prenant un diamètre quelconque, et, dans le plan diamétral conjugué, deux diamètres conjugués de la section. 11 est aisé de voir que, de ces trois diamètres conjugués, deux OD, OEsont toujours réels, un OF imaginaire. En effet, si le premier diamètre est réel, le plan diamétral, comme nous l’avons dit (n° 512), coupe la surface suivant une hyperbole, dans laquelle un second diamètre sera réel, le troisième imaginaire. Si, au contraire, le premier diamètre est imaginaire, le plan diamétral conjugué coupe la surface suivant une ellipse réelle, dans laquelle deux diamètres conjugués sont réels. L’équation de la surface, rapportée à ces diamètres conjugués, prend la forme

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L’hyperboloïde conjugué admettant le même diamètre pour la même série de plans sécants, les deux surfaces ont les mêmes systèmes de diamètres conjugués; seulement un diamètre, réel dans l’une, esi imaginaire dans l’autre, de sorte que, dans l’hyperboloïde à deux nappes, de trots diamètres conjugués, deux sont toujours imaginaires, et un réel.

Pour foi mer un système de diamètres conjugués, nous avons pris l’un d’eux arbitrairement; il faut toutefois quê cette droite n’appartienne pas au cône asymptote.

Mi2 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

515 — Il nous est facile maintenant de compléter l'étude des sections planes des hyperboloïdes. Imaginons la surface rapportée à un système de plans diamétraux conjugués dont l'un soit parallèle au plan sécant; l’équation prendra la forme

Considérons d’abord l’hyperboloïde à une uappe. Si le plan sécant est parallèle au plan DOE, la section est une ellipse x' y 1

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toujours réelle, dont le centre est sur le diamètre imaginaire OF, et qui augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s’éloigne du plan diamétral, d’un côté ou de l’autre. Si le plan sécant est parallèle au plan EOF, la section est une hyperbole

dont le centre est situé sur le diamètre réel 01), et dont les asymptotes sont parallèles à celles de l’hyperbole déterminée par le plan diamétral x=0; cette hyperbole admet aussi deux diamètres conjugués respectivement parallèles à OE et à OF. Quand x varie de 0 à a1, le diamètre réel est parallèle à OE, et diminue de b‘ à 0; pour x=a', l’hyperbole se réduità deux droites passant au point D, et le plan devient tangent à la surface au point D; quand x croît ensuite à partir de d, le diamètre réel est au contraire parallèle à OF et augmente de zéro à l’infini ; l’hyperbole a changé de disposition; d'abord située dans les angles des asymptotes qui comprennent le diamètre OE, elle a passé dans les angles supplémentaires. La transition s’opère par le système de deux droites.

516— Considérons mainlenant l’hyperboloïde à deux nappes. Les sections parallèles au plan DOE sont des ellipses

dont les centres sont situés sur le diamètre réel OF ; quand z varie de 0 à d, l’ellipse est imaginaire; pour z=d, elle se