LIV. VI, CHAP. IV.— UES HYPERBOLOIDES

réduit à un point ; quand s croît à partir de c', l’ellipse devient réelle et augmente indéfiniment. Les sections parallèles au plan EOF sont des hyperboles

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dont le diamètre réel est toujours parallèle à OF et augmente indéfiniment. L’hyperbole a toujours la même disposition.

51 T — Nous n’avons parlé jusqu’à présent que des sections elliptiques ou hyperboliques. La transformation précédente ne peut plus être effectuée, lorsque le plan sécant est parallèle à un plan tangent au cône asymptote; dans ce cas, la section est une parabole, égale à celle que détermine le plan sécant sur le cône asymptote, et il est évident, d’après la similitude, que le paramètre de la parabole tracée sur le cône par le plan sécant augmente proportionnellement à la distance du plan sécant au centre.

Pour étudier la position de la courbe, nous nous servirons d’une autre forme extrêmement simple, sous laquelle on peut mettre l’équation de l’hyperboloïde. Prenons pour axe des y et des s deux arôles quelconques du cône asymptote et pour axe des x le diamètre conjugué du plan YOZ, l’équation des hyperboloïdes se réduira à la forme

A!a;* + Bys=±t.

Car elle ne doit pas contenir de terme du premier degré , et lorsqu’on y fait #.=0, on a une hyperbole rapportée à ses asymptotes. On peut toujours supposer que les deux constantes A et B sont positives. La surface est un hyperboloïde à uue ou à deux nappes suivant que le second membre est positif ou négatif; car le plan 3=0 coupe la surface dans le premier cas et ne la rencontre pas dans le second cas. Les sections des deux sur-

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

faces par le plan YOZ sont des hyperboles conjuguées. Le cône asymptote a pour équation

kx * -f Bÿï = 0.

Les plans XOY et XOZ sont tangents à ce cône suivant les arêtes OY et OZ. Si la surface est un hyperboloïde à une nappe, elle est coupée par le plan z:=0 suivant deux droites AB, A' B' parallèles à OY (fig. 257) ; tout plan parallèle z—f coupe la surface suivant une parabole Ax’+Byy = 1, qui a pour diamètre la trace CD du plan sécant sur le plan YOZ. L’extrémité C de ce diamètre appartient à l’hyperbole GH, G'H', suivant laquelle le plan YOZ coupe la surface. La direction du

diamètre change avec le signe de y. Les sections faites dans l’hyperboloïde à une nappe par les plans s=±y ont la disposition indiquée sur la ligure 257. Quand les deux plans sécants se rapprochent du plan XOY, les points C et C' s’éloignent indéfiniment sur les branches d'hyperbole CG, C'G', et les deux paraboles tendent vers le système des deux droites parallèles AB, A'B'.

Si la surface est un hyperboloïde à deux nappes, le plan z=0 ne rencontre pas la surface, et les deux paraboles données par les plans i=±y ont la disposition indiquée par la figure 258. Quand y tend vers zéro, les deux paraboles s’éloignent à l’infini.

SECTIONS CIRCULAIRES

518 — Considérons d’abord l’hvperboloïde à une nappe. D’après les raisonnements qui ont été faits sur l’ellipsoïde, on reconnaît qu’un plan diamétral, qui coupe l’hyperboloïde suivant un cercle, doit passer par l’un des axes de la surface; or tout plan mené par l’axe imaginaire OZ coupe la surface suivant une hyperbole; le plan passera donc par l’undesaxes réels.