PREMIÈRE MÉTHODE

504 — On applique à l’équation proposée la méthode de réduction exposée au chap. Il ; non-seulement on obtient par ce procédé la nature de la surface, mais encore on détermine d’une manière précise sa situation et ses paramètres. Lorsqu’on veut reconnaître seulement la nature de la surface, il

LIY.VI.CHAP. VI.— DISCllS. DES ÉQUATIONS NUMÉR. 499

n’est pas nécessaire d’elïectuer tous les calculs indiqués. On commence par former l’équation du troisième degré qui donne S; il y a ensuite plusieurs cas à distinguer.

1° Quand l’équation du troisième degré n’a pas de racine nulle, on sait que la surface a un centre unique, et que son équation peut être ramenée à la forme

8a>' + Sy+S'V+F,= 0.

Pour déterminer la nature de la surface, il suffit de calculer F, et de voir les signes des racines S, S', S", signes qui sont donnés immédiatement par le théorème de Descartes.

2“ Quand l’équation du troisième degré a une seule racine nulle, l’équation peut être réduite à l’une des deux formes S'y’ + S/'ï*4-PT=0,

Sy + SV + F, =i).

la première représente des surfaces dépourvues de centre, et la seconde des surfaces ayant pour centres tous les points d’une droite. Pour connaître la forme qui convient à l’exemple donné, on aura recours aux équations qui déterminent le centre. Lorsque ces équations sont incompatibles, le lieu est un paraboloïde, elliptique si S' et S" ont le même signe, hyperbolique si S' et S" ont des signes contraires. Lorsque le lieu admet une infinité de centres, ce lieu est un cylindre, dont on détermine la nature par une section non parallèle à l’axe.

3° Lorsque 1 équation du troisième degré a deux racines nulles, l’équation peut être réduite à l’une des formes S"**+Px=0,

La première représente une surface dépourvue de centre, et la seconde une surface qui admet pour centres tous les points d’un plan. On aura encore recours aux équations qui déterminent le centre. Si ces équations sont incompatibles, le lieu est un cylindre parabolique. Si elles se réduisent à une seule, le lieu est l’ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l’équation n’a pas de solutions réelles; une section non parallèle au plan des centres déterminera la nature du lieu.

MHI GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

585 — La discussion est résumée dans le tableau suivant.

i" CLASSE.

L’équation du troisième degré n'a pas de racine nulle.

Surfaces ayant un centre unique.

f Les trois racines de même

signe.

Genre ellipsoïde.

ÎDeux racines de même signe, une de signe contraire.

Genre hyperbole loïde.

F, a un signe contraire à celui des racines.

F, de même signe.

F, a un signe contraire à celui des deux premières racines.

F|de même signe.

Ellipsoïde.

Un point.

Rien.

Hvperboloideà une nappe.

. .Cône

Hvperboloïdei deux nappes.

/ Une seule ra- / cine mille et pas de centre.