CLASSE

L’équation du troisième degré a une ou deux racines milles.

Surfaces n’ayant pas de centre, ou une infinité de rentres.

Genre paraboloïde.

Une seule racine nulle et une infinité de centres en ligne droite.

Deux racines nulles et pas de centre.

Lesdeux autres racines de même signe.

Paraboloïde

elliptique.

De signes con- J Paraboloïde aires. ( hyperbolique.

Lesdeux.u!mili(g,iodre*1,iP-

racines de même Mgne

Une droite.

Rien.

/ Cylindre hy- De signes con- I |>erbolique.

traires. i Deux plans qui

( se coupent.

Cylindre parabolique-

Deux racine^ nulles et une infinité de centres dans un plan.

Deux plans parallèles- Un plan.

Rien.

Remar^i e. — La réduction expliquée au chapitre II suppose les axes primitifs rectangulaires. Or, il est évident que si l'on construit, avec deux systèmes d’axes différents, les lieux représentés par une même équation du second degré, ces lieux seront toujours de même espèce; cependant l’une des surfaces pourra être de révolution sans que la seconde le soit. Les conclusions précédentes s'appliquent donc a un système d'axes quelconques.

LIV. VI, CHAI*. VI.— ÜIKCUS. DES ÉUIJATIUNS NL’MÉK. 301 DEUXIÈME MÉTHODE.

506 — On forme les équations qui déterminent le centre de la surface. U y a plusieurs cas à distinguer.

1° La surface admet un centre unique. Dans ce cas, pour simplifier, on transporte les axes au centre, et l’équation se réduit à

(1 ) Ax ’+ A 'y *+ A'': *+2 B yz + 2 B 'zx + 2 B^-fF, = o. Lorsque le terme constant F, est nul, le lieu est un point unique ou un cône. Pour décider la question on fait une section par un plan parallèle à l’un des plans coordonnés; si la section est une courbe réelle, le lieu est un cône. Si la section est imaginaire, le lieu est un point.

Le cas où F, est différent de zéro se subdivise en deux, suivant que l’équation renferme le carré de l’une des variables ou que les trois carrés manquent. Supposons que le coefficient A", par exemple, soit différent de zéro, et résolvons l’équation (1) par rapport à z, nous aurons

A "z= — (B'x+By) ± / MÆ’-{-2N.ri/-f Py* — A" F, , en posant, pour abréger,

Le plan

(2) A"z = — (B'x+By)

est le plan diamétral des cordes parallèles à l’axe OZ. La trace de la surface sur ce plan diamétral se projette sur le plan XOY suivant la courbe définie par l’équation

(3) Mx*+2NaT/+Py>— A"Ft = 0.

Cette courbe admet un centre unique ; car on a N* — MP= — A"D,

D étant le dénominateur ou le déterminant relatif aux équations du centre. En outre le terme constant — A"F, est different de zéro.

Supposons que le lieu défini par l’équation (3) soit du genre ellipse ; ce lieu sera une ellipse réelle ou une ellipse imaginaire, mais pas un point. Si le lieu est une ellipse réelle, la courbe a pour centre l’origine, et l’on sait que le polynôme

M.r*+2N;rÿ+Pÿ* — A"F, conserve un signe invariable, lorsqu’on remplace a? et y par les coordonnées d’un point intérieur (ce signe est celui du terme — A''F,) ; pour tous les points extérieurs le polynôme a un signe contraire. Si la quantité— A"F, est positive, tous les points de la surface se projettent à l’intérieur de l’ellipse; la surface estdonc un ellipsoïde. Si — A"F,est négative, les points de la surface se projetteut en dehors de l’ellipse, et l'on a un hyperboloïde à une nappe. Lorsque le lieu -est imaginaire, la fonction M.r'-f-SNa'y-f Py’ — A" F, conserve un signe invariable pour tons les points du plan XOY (ce signe est celui du terme — .V'F,) et ne s’annule pas; si — A"F, est positive, la surface se compose de deux nappes indéfinies séparées par le plan diamétral; c’est un hyperboloïde à deux nappes; si — A" F, est négative, la valeur de* étant toujours imaginaire, l’équation (I) n’a pas de solutions réelles.

Supposons actuellement que l’équation (3) définisse un lieu du genre hyperbole ; le terme — A" F, étant diflérent de zéro, le lieu est toujours une hyperbole, et non le système de deux droites. Si — A"F, est positive, tous les points de la surface se projettent entre les deux branches de l’hyperbole ; la surface est donc un hyperboloïde à une nappe. Si — A"F, est négative, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

On peut remarquer que le signe de la quantité — A"F, indique si l’axe des s est un diamètre réel ou un diamètre imaginaire. Ce diamètre, joint à deux diamètres conjugués de la section-, forme un système de trois diamètres oonjugués de la surface qui permet de reconnaître immédiatement l’espèce de cette surfaite. Supposons que la section diamétrale soit une ellipse réelle ; cette ellipse admet deux diamètres conjugués réels ; si la quaulité — A"F, est positive, le troisième diamètre étant aussi réel, la surface est un ellipsoïde; si cette quantité est négative, le troisième diamètre étant imaginaire, la surface est un hyperboloïde à une nappe. Lorsque la section es! une ellipse imaginaire, elle admet deux diamètres conjugués imaginaires; si le troisième diamètre est réel, le lieu est un hyperhoïoïde à deux nappes; s’il est aussi imaginaire, le beu

ÜV. VI, CHAP. VI.— DISCUS. UES ÉQUATIONS NUMÉH. 503

est un ellipsoïde imaginaire. Supposons maintenant que la section soit une hyperbole; de deux diamètres conjugués de cette hyperbole, l’un est réel, l’autre imaginaire; si le troisième diamètre est réel, la surface est un hyperboloïde à une nappe; s’il est imaginaire, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

Nous ferons encore remarquer que la section diamétrale est la courbe 'de contact d’un cylindre circonscrit à la surface et ayant ses arêtes parallèles à l’axe des z.

Lorsque les trois coefficients A, A', A" sont nuis à la fois, l'équation se réduit à

(■ l ) iByz+SB'xs+SB'xy+F^O; alors chacun des coefficients B, IV, B" est différent de zéro ; autrement la surface aurait une infinité de centres. La surface déterminée par l’équation (-4) s’étend à l’infini, puisque s est reelle pour un couple quelconque de valeurs de x et dey; cette surface est l’une des deux hyperboloîdes. Le cône asymptote a pour équation

2 Byz+2B'zx+ÎB,/xy=0.

Les trois axes des coordonnées sont des arêtes du cône. Si la surface est un hyperboloïde à une nappe, on peut appliquer sur cette surface deux droites parallèles à OZ. Or, les équations d’une parallèle à OZ sont

Pour avoir la coordonnée z du point de rencontre de la droite et de la surface, on élimine x et y entre les équations (4) et (5), on obtient ainsi l’équation

2 5 (Bp+B'a)+2B"«p+F1 = o.

Pour que la surface soit un hyperboloïde à une nappe, il faut que l’on puisse choisir a et p de manière que l’équation précédente soit vérifiée quelle que soit z, c’est-à-dire de manière

que l’on ait simultanément

Bp+B'a=0, 2B,/aH-F1 = 0.

I»e ces équations on déduit

2BBB'

2° La surface est dépourvue de centre. Cette surface ne peut être que l’un des paraboloïdes ou le cylindre parabolique. Si la surface est un paraboloïde, l’un au moins des trois plans coordonnés n’est pas parallèle à l’axe, et donnera une section, elliptique ou hyperbolique suivant que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique. Si la surface est un cylindre parabolique, les sections par les trois plans coordonnés sont des sections paraboliques.

3° La surface a pour centres tous les points d’une droite. La surface est un cylindre; l’un, au moins, des trois plans coordonnés n'est pas parallèle à son axe; la section du cylindre par ce plan détermine son espèce.

4° La surface a pour centres tous les points d’un plan. Dans ce cas le lieu est l’ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l’équation ne représente rien. Pour décider la question, on fait une section par l’un des plans coordonnés non parallèle au plan des centres.

Exemple I. -tx’-f 3y’+9=’+8j':+.l.rÿ+ i)/-f-8:-l-9=0.

Les équations qui déterminent le centre sont 2x + .v + 2; = 0,

ix +9i-M=0.

Ces équations admettent un système unique de solutions.

x=$< y = — 3, s = — 2. Si l’on transporte l'origine au

centre, le terme constant prend la valeur — 5, et l’équation se réduit à

Résolvons celle-ci par rapport à x, on a

L’équation