LIV. VI,CHAP. VI. — DISCL'S. DES ÉQUATIONS NUMÉR. 50b

représente une ellipse réelle ; le terme constant sous le signe radical étant positif, la surface se projette sur le plan des yz à l’intérieur de l'ellipse ; la surface est un ellipsoïde.

Si l'on remplaçait, dans l’équation donnée, le terme constant 9 par 14, la nouvelle équation ainsi obtenue ne représenterait plus qu'un point. Si l’on remplaçait le terme constant par un nombre plus grand que 14, l'équation n’admettrait plus de solutions réelles.

Exemple II.

4x* — 15y*-fl \yz+\zx— 4xy+4x — 34y+24z — 18=0. Les équations qui déterminent le centre sont 2x— y + 5 + l = 0,

Elles admettent un système unique de solutions, x=— -,

y= — ï= — 1 Lorsqu’on transporte l’origine au centre,

l’équation de la surface devient

4*’+15y'+l 4yz+42X — ixy — 6 = 0.

Celle-ci résolue par rapport à x donne

2x=y— z± /s1— 1 4y‘— 1 4yz+ 0

L’équation

représente une hyperbole; le terme constant sous le signe radical est .positif, par conséquent la surface est un hyperboloïde à une nappe.

Lorsqu’on remplace dans l’équation proposée le terme constant — 18 par —12, on obtient une nouvelle équation qui représente un cône ; si l’on remplace le terme constant par un nombre plus grand que —12, on a un byperboloïde à deux nappes.

Exemple 111.

4ar*+4y * + 125’ — 1 2yz + 4xy +4x + 2y + 32=0. Les équations qui déterminent le centre sont

but

Si l’on retranche la première de la seconde, on obtient l'equation

iy — 85 = 0,

incompatible avec la troisième. L’équation proposée représente donc une surface dépourvue décentre. L’équation de la section de la surface par le plan des xy est

4x’+4y*+4xy + 4x+2y = U;

cette section étant une ellipse, la surface est un paraboloïde elliptique. Les équations (a) représentent les plans diamétraux des cordes parallèles aux axes des coordonnées ; deux de ces plans se coupent suivant une droite dont les coefficients angulaires sont —1 et 2 ; la droite de rencontre de deux plans diamétraux étant parallèle à l’axe, il en résulte que l’axe a pour coefficients angulaires —1 et 2.

Le plan tangent au sommet du paraboloïde est perpendicu laire à l’axe; lorsque les axes sont rectangulaires, les coordonnées de ce point doivent donc vérifier à la fois l’équation de La surface et les équations

fr A r

c’est-à-dire,

(p) — (8x + 4y + 4)=2x + 4y— G3+l=24s— 12y + 3. Les équations (p) représentent une droite dont les coefficients angulaires sont encore — 1 et 2 ; cette droite est par conséquent l'axe du paraboloïde.

Exemple IV.

4x* — 2y‘ — t 2z‘+ 1 2y 5 + 4xy + 4x+2y + 3s=0. Les équations qui déterminent le centre sont

Digiti;

L1V. VI, CHAP. VI.— DISCliS. DES ÉQUATIONS NUMÉR. 507 2x+y+i=»,

ix— - 2y + <)* + !=: 0, iy— 8;-H =0.

Si l’on retranclie la seconde de la première, on obtient y—iz — O;

cette équation étant incompatible avec la troisième, la surface n’a pas de centre. Le plan des xy coupe la surface suivant une hyperbole déiinie par l’équation

4x* — 2y’ + 4xy + 4x + 2y = 0 ; la surface est un paraboloïde hyperbolique. Si les coordonnées sont rectangulaires, les équations de l’axe sont — (8x + 4y + 4) = — 2y q-0z+2.r -f-t =— 24î + 1 3.

Exemple V.

x’ + iy5 -f- 4:! — 4 yz — 2xy-(- 2. x — 2 y — 4=0.

Les équations qui déterminent le centre sont

En ajoutant les deux premières membre à membre, on obtient la troisième; donc In surface admet pour centres tous les points de la droite

.r=2z — t, y— iz;

sa trace sur le plan XOY est l’ellipse définie par l’équation x’-f -2 y’ — 2xy-f-2x — 2 y — 4 = 0.

Ainsi, la surface est un cylindre elliptique.