TROISIÈME MÉTHODE

567 — Cette méthode est basée sur certaines transformations que l’on peut faire subir à une fonction du second degré à trois variables, et elle revient, comme nous le verrons, à une transformation des coordonnées. Dans ce qui suit, les lettres a, b, c, k désigneront des quantités constantes, et les lettres P, Q, R des fonctions linéaires d’une ou de plusieurs des variables x, y, z.

Considérons fin premier lieu un polynôme du second degré â une seule variable x,

(1) Ax'+ Bx + C ;

le coefficient A étant différent de zéro, on peut écrire le polynôme

X{x+èi) +C~

et, par conséquent, le ramener à la forme

(2) aP‘ + À\

Soit maintenant un polynôme du second degré a deux variables

(3) Aa-*-f Bx.y-fCy’-l-Dar-f Eÿ + F, dans lequel nous supposerons d’abord que l’un des coefficients de x * et de y* , C par exemple, n’est pas nul. Le polynôme (3), qui est du second degré par rapport à y, ordonné par rapport à cette variable, s’écrit

Cy 1 (Bx + E) y -f- A x ' -f- Dx F.

Si on lui fait subir la transformation précédente, il devient

c(,+ 5i+ÎJ+Al.+D»+F!ïi+B’

La seconde partie Ax’+ Dæ+ F — — - est un polynôme

en x, au plus du second degré, ou une constante. Si elle est du second degré, on la mettra sous la forme ôQ’-fA'; il en résulte que, lorsque C n’est pas nul, on peut réduire le polynôme (3) à l’une des formes

(4) oP’-f ÔQ’+A ,

(5) aP'-f Q,

(6) aP’-f k.

Lorsque A et C sont nuis à la fois, B est nécessairement différent de zéro, et l’on a

Ba- y + Dx + Ey + F=x (b y + ü') + Ey + F le polynôme prend la forme

UV. VI, CHAP. VI.— Ü1SCUS. DES ÉQUATIONS NUMÉR. 509