LIV. VI, CHAP. VI.— DISCUS. DES ÉQUATIONS NUMÉR
Dans chacune des formules le signe du second membre change lorsque le point M passe d’un côté du plan X'OY' à l’autre ; si
donc on appelle h la valeur du produit cos/ / m' + n’ + p1, prise avec un signe convenable, on aura pour tous les points de l’espace la relation H = Az'. On démontrerait de même les relations Q =gy', P =fxf. 11 en résulte que l’équation de la surface, par rapport aux nouveaux axes, est
(18) af'x1' +bgtylt-irchtzn+k=Q.
La surface est une surface à centre unique, et les nouveaux plans des coordonnées sont trois plans diamétraux conjugués. L’espèce de la surface est déterminée immédiatement d’après les signes des nombres a, b, c, k.
560 — Remaboie I. La transformation des coordonnées suppose que les plans définis par les équations P=0, Q=0, R=0 se coupent en un point unique. Cette condition peut n’ètre pas remplie, lorsque les fonctions linéaires P, Q, R sont prises arbitrairement; mais elle est toujours satisfaite, lorsque ces polynômes proviennent de la transformation d’une fonction du second degré d’après la méthode indiquée.
Remaboie II. Supposons a et b positifs, c et k négatifs, l’équation (17) représentera un hyperboloïde à une nappe. Si l’on pose c= — c,, k=z — A,, l’équation de la surface rapportée aux axes primitifs peut s’écrire
(19) aP* — c,R’=: A-, — 6Q‘.
Les valeurs de x, y, z qui satisfont aux deux équations simultanées
P/^+R/^Xl/Â.+Q/ô],
dans lesquelles X désigne un paramètre arbitraire, vérifient l’équation (19), quel que soit X; or, pour chaque valeur de X, les équations (20) représentent une droite ; on a de la sorte un premier système de génératrices rectilignes de la surface. Les équations des génératrices du second système sont
IV a+It/c, =(4*/ *,-0/6],
P/û-R/7,=Vâ;+Q/6].
570 — Lorsque le premier membre de l’équation se réduit
à la forme (10) , on reconnaît par la même transformation que la surface est un paraboloïde, elliptique ou hyperbolique suivant que a et 6 ont le même signe ou des signes contraires. Dans ce dernier cas, si l’on suppose a positif, 6 négatif et égal à — 6,, on voit que les deux systèmes de génératrices rectilignes sont définis par les équations
et
P^/ fl + Q y \ ,
( IV a — U/6,:=!X,
(23) P/7+QA=-ü.
Lorsque le premier membre se réduit à la forme (1 1), en prenant pour nouveaux plans descoordonnéesles deux plans P=0, Q=0, et un troisième non parallèle à la rencontre des deux premiers, on voit que le lieu est un cylindre, elliptique ou hyperbolique. La forme (12) correspond au cylindre parabolique, et la forme (13) au système de deux plans parallèles.
Les formes (U), (15), (16) se ramènent aux précédentes; mais cette réduction n'est pas nécessaire. On voit directement que la forme(14) donne, un hypcrboloïde à une nappe si c et k ont des signes contraires, un hypcrboloïde à deux nappes s’ils ont le même signe. Dans le premier cas, soit c positif, * négatif et égal à — les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont
et
RtV-î- l/A, = XP ,
L1V. VI, CH AP. VI.— DISCÜS. DES ÉQUATIONS NUMÉR . 51 .'1 K t/c — l/A , = u. P ,
| Ri/^+i/^—
La forme (15) correspond au paralioloïde hyperbolique; les génératrices rectilignes sont définies par les deux systèmes
et
f Q = M'- En fin la forme (10) donne un cylindre hyperbolique.
571 — Dans ce qui précède nous avons supposé les axes rectangulaires; néanmoins, d’après la remarque du n° 565, les conclusions, auxquelles nous avons été conduits, subsistent encore, si les axes sont obliques. On pourrait, du reste, appliquer la même méthode de transformation de coordonnées, et l’on reconnaît sans peine que la formule
R =± y cos y' / m'+n'+P1, doit être remplacée par la suivante
cos y
Y et / étant les angles que la normale au plan R=0, fait avec les axes OZ et OZ'; il en résulte, comme dans le premier cas, R=Az', h étant une constante.
Exemple I.
Ax, + 3y,-j-9s,-f8a:z + 4a;ÿ + Ty + 8z + 9 = 0.
Le premier membre de l'équation, ordonné par rapport à x, s’écrit
4x*+4x(y+2z)+3y,+9z*+4y+8s + 9, ou
(2x+îH-2z)*— (y+2z).+3ys+9s*+.iy+8z+9 et, en faisant les réductions dans la seconde partie,
La seconde partie, ordonnée par rapport a y, devient 2y'— 4y(z-l)+5z’+8z-|-9 =2(y— z+t)*— 2(z-t)’+5::’+8z+9.
Enfin la dernière partie de ce nouveau polynôme est 3z*+t 2z+7 = 3(z+2)*— a.
11 résulte de ce qui précède que l’équation proposée peut se mettre sous la forme
Cette équation représente un ellipsoïde, et les trois plans définis par les équations
sont trois plans diamétraux conjugués de la surface. Ces plans se coupent au point x = -, y= — 3, z= — 2, qui est le
centre de la surface.
Exemple IL
4x* — 1 5y*+14yz+4 zx — 4xy+4x — 34y+24z — 1 8=0. On a successivement
lx’— 13y’+l 4yz+4zx— 4xy+4x — 31y+21z — t 8 = 4x’+4x(z — y+t) — 1 5y* + l 4yz — 34y+2 4z — 18 = (2x — y+z+1)’ — I6y’+1 Oyz — z1 — 32y+22z — 1 9 ; puis
— { 6y’+l 6y (z— 2)— z’+22z— 1 9 =— 4(2y-z+2)*+3z*+Gz-3;
et enfin
L’équation proposée prend la forme
(2x — y+z+1)* — 4 (2 y — z+2)’+3(z+l)* — 6 = 0 ; elle représente un hyperboloïde à une nappe. Les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont
LIV. VI, CHAP. VI. — DISCUS. DES ÉQUATIONS NUMÉR. 51 ( 2x+3y — z + 5 =X | t/(f-(-(z +1)1/3],
L équation du cône asymptote est
Exemple III.
‘^**+Ay, + i2z,— 12y z + 4xy+Ax + 2y + 3s = 0.
On a
4x, + .ix(y+l)+4y> + 12z*— 12yz + 2y + 3z ==(2x + y + l)*+3y’+1 2 z1 — 12yz+3z — 1 ,
puis
3y«+ 12z*-12yz+3z— 1 = 3 (y— 2z)' + 3z— 1. L’équation de la surface peut se mettre sous la forme (2x + y+l)‘ + 3(y— 2z)*+3z— 1 =0; elle représente un paraboloïde elliptique.
Exemple IV.
Ax' — 2y’— 12z* + 12ys + 4xy + 4a; + 2y + 3z=0. L’équation se met sous la forme
elle représente un paraboloïde hyperbolique.
Les deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont donnés par les équations
et
2x — 5y+3z— 3=-ll/6— (z+l)l/3J,
2x+3y— z + 5 = p (VÔ— (z+l)l/3],
2x— 5y+3z— 3= -ll/è+tz+lJP'ÏÏ.
Exemple V.
^c*4-4y’ + ^, — 4 y z — 2sa; + 4acy + 6a; + 4 y — 5z + 3=0. Ordonné par rapport à x, le premier membre s’é cril j', + 2x(2y-s+3) + 4ÿ’ + 5*-4yz + 4y-5z-f-3 = (* + 2y-z + 3)’-8y + z-6, et l’équation proposée prend la forme
(x + 2y — z+3)’ — 8y + z — 6 = 0; elle représente un cylindre parabolique; les arêtes du cylindre sont parallèles à la droite déterminée par les deux équations x+Vy — z + 3=0,
CHAPITR E VII.
Des conditions nécessaires pour définir nue surface dn second degré.
5 T* —L’équation générale du second degré (i) Ai«+A'E*+A,’j,-|-ÏByj4.2B'ix+2B"ry-f-ÎCj;+ÎC'tfq-2C'ï+F=0> entre les trois variables x, y, z, renferme dix termes, et la surface définie par cette équation dépend de neuf paramètres arbitraires, les rapports de neuf coefficients au dixième. Il faut donc neuf conditions géométriques pour définir une surface du second degré, en supposant que chaque condition géométrique s’exprime par une relation unique entre les coefficients. Ainsi, par exemple, une surface du second degré est déterminée par neuf points.
573 — Pour exprimer qu’un plan
(<») Aa; + By + Cz4-D = 0 est tangent à une surface
on observe que les coordonnées x, y, z du point de contact doivent vérifier à la fois les équations de la surface et du plan.
