LIV. VI, CHAP. VII.— COND. POUR DÉFINIR UNE SURF

De plus, les cosinus des angles que fait la normale à la surface au point x , y, z avec les trois axes des coordonnées sont proportionnels à Fi(x, y,z), Fj(x, y, z), F£(x, y, z); on doit donc avoir

Fi

L’élimination de x, y, z entre les équations (a), (a1), (o;/) donne une relation entre les coefficients variables renfermés dans l’équation de la surface. Puisque le contact d’un plan et d’une surface quelconque s’exprime par une seule équation, il faut également neuf plans tangents pour déterminer une surface du second degré.

574— Pour qu’une droite

y = bz + q,

soit située entièrement sur la surface (*'}, il faut que l'équation que l’on obtient par 1 élimination de a: et z entre les équations («'Jet (p) soit vérifiée quelle que soit z.Si l’équation (a') est algébrique et du degré m,la condition précédente donne m+t relations entre les paramètres variables de la surface. On arrive àla même conclusion, d’une autre manière, en observant que, pour que la droite appartienne à la surface, il faut et il suffit que les coordonnées de m-ft de ses points vérifient l’équation de cette surface. En particulier, si la surface est du second degré, une droite équivaut à trois conditions, et trois droites déterminent la surface. Si, parmi les points donnés, quatre ou un plus grand nombre sont sur une même droite, ces points ne devront être comptés que pour trois.

575 — Supposons que l’on donne neuf points; cinq dans un plan P et les quatre autres dans un plan P' qui rencontre le premier suivant la droite D. L’ensemble des deux plans P et F constitue un lieu du second degré renfermant les neuf points ; généralement il n’y en a pas d’autre. Gar si le plan P n’appartient pas au lieu , il le coupe suivant une ligne du

second degré C complètement déterminée par les cinq points renfermés dans ce plan. La droite D coupe la ligne C en deux points qui devraient être avec les quatre points du plan F sur une même ligne du second degré, ce qui n’a pas lieu en général, lorsque les quatre derniers points sont pris arbitrairement dans le plan F. Cependant, si cette dernière condition était satisfaite, outre la première solution, il y en aurait une infinité d’autres, et les neuf points ne devraient compter que pour huit. Prenons, en effet, les plans P et F pour plans des xy et des xz, et un troisième plan quelconque pour plan des yz. Soient

a x *-}- a'y * + 2 V'xy + 2c x + 2 &y -f f= 0 ,

ax’-f a"z* + 26'xz + 2cx + 2c''z-|- f= 0

les équations des lignes C et C' du second degré qui passent d’une part, par les cinq points du plan P, d’autre part, par les quatre points du plan F et les deux points de rencontre de la droite D et de la courbe C. On peut supposer que le coefficient de x1 est le même dans les deux équations , et comme Taxe des x rencontre les courbes aux mêmes points , les coefficients de x et les termes constants doivent aussi être les mêmes. Pour que la surface définie par l’équation (1), dans laquelle on suppose A=a, soit coupée par les plans des xy et des xz suivant les deux courbes précédentes, il faut et il suffit que Ton ait

L’équation

renferme encore un paramètre arbitraire B, que Ton peut choisir de manière que la surface passe par un point quelconque donné en dehors des deux plans XOY, XOZ.

570— Lorsque, parmi les neuf points donnés, six sont dans un même plan P, le lieu est en général l’ensemble de deux plans, savoir le plan P et le plan P' qui passe par les trois autres points. Cependant, si les six |toints étaient sur une