LIV. Il, CHAP. II.— DU CEKCLE

et si l’on désigne par a; et y les coordonnées d’un point quelconque du lieu, ce lieu aura pour équation

y* +>-«)•“ n” ou ^

(11) x'+y* — 2 axm ^"W. + a,=0.

C'est un cercle dont le centre est situé sur l’axe des x; les deux extrémités du diamètre DE sont les points qui divisent la droite AB dans le rapport de m à n.

PROBLÈME VI

05 — Trouver les points d'intersection de deux cercles. Soient

a” + y* + ax + èy+c=0,

les équations des deux cercles en coordonnées rcctangidaires. Les points d’intersection seront donnés par ces deux équations simultanées. On peut remplacer le secoud cercle par la droite

que l’on obtient en retranchant ces équations membre à membre, et la question est ramenée à chercher les points d’intersection du premier cercle par cette droite. Si la droite coupe le cercle, les deux cercles auront deux points d’intersection, et l'équation (12) représenlera la sécante commune. Si la droite devient tangente au cercle, les deux points d’intersection se confondent, et les deux cercles sont tangents; l’équation (12) représente dans ce cas la tangente commune. Enfin, lorsque la droite ne rencontre pas le cercle, les deux cercles n’ont pas de point commun.

9tt— Cependant l’équation (12) a, dans tous les cas, une signification géométrique qu’il est bon de remarquer.

Les équations des deux cercles peuvent être mises sous la (orme :

(ar— o>) •+ (y— p) »— r « = O,

D’un point extérieur quelconque P menons aux cercles des tangentes PM , PM' ; on a

PM =PC — CM* = (x — “)* + (ÿ— ?)* — r>,

pm'^pc7*— c¥’=(*- «0*+(y- ?')*— r1'-,

les premiers membres des équations des cercles, dans lesquelles x et y sont quelconques, représentent les carrés des longueurs des tangentes PM et PM', menées d’un point P du plan. Or, en égalant à zéro la différence, on écrit que ces deux carrés sont égaux entre eux, et par conséquent que les deux tangentes I*M et PM' sont égales. Ainsi, l’équation (14) obtenue de cetle manière représente le lieu des points d’où les tangentes menées aux deux cercles sont égales entre elles. Cette droite est ce qu’on appelle l’axe radical des deux cercles.

97 — Étant donnés trois cercles

x'+y'+ax+by + c=z 0, x * + y* -|- a ’x + b y + c’= 0, x’-f y' -v a" x-\-b 'y + c"=0,

les axes radicaux des cercles combinés deux à deux ont pour équation

La troisième équation étant une combinaison des deux autres, il en résulte que les trois axes radicaux passent par un même point.