CHAPITRE

Lieux géométriques.

98— Soient

deux équations renfermant une constante ou paramètre arbi-

L1V. Il, CHAP. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 7»

traire a. Si l’on attribue à ce paramètre une valeur particulière, on obtient deux lignes A et B qui se coupent en un point M, dont les coordonnées a: et y vérifient les deux équations simultanées (1) et (2). Si l’on attribue au paramètre a une autre valeur a', les deux lignes occuperont les positions A', B' et le point d’intersection viendra en M'; une troisième valeur a'' attribuée au paramètre donnera les deux lignes A", B" et le point d’intersection M", et ainsi de suite. Concevons que l’on fasse varier le paramètre a d’une manière continue, les deux lignes A et B se déplaceront dans le plan d’une manière continue et le point d’intersection M décrira une ligne PQ. Celle ligne PQ est ce qu'on appelle le lieu du point d’intersection des lignes variables A et B.

On obtiendra l’équation de la ligne PQ, lieu du point M, en éliminant le paramètre a entre les deux équations (1) et (2). En effet, éliminer a entre les deux équations (I) et (2), c’est trouver une équation

ne renfermant plus la lettre a, et telle que , si l’on remplace l’une des deux équations proposées, par exemple l’équation (2), par l’équation (3), le système des deux équations (i) et (3) soit équivalent au système des deux équations (1) et (2). On dit que deux systèmes d’équations sont équivalents, lorsqu’ils sont vérifiés par les mêmes valeurs attribuées aux lettres. Quand on attribue à a une valeur particulière, les coordonnées x et y du point M, jointes à cette valeur de a, forment un système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant à la fois les deux équations (t) et (2); puisque le système des équations (I) et (3) est équivalent au précédent, ces valeurs vérifient aussi l’équation (3); cette dernière équation, ne renfermant pas a, est vérifiée par les coordonnées de l’un quelconque des points du lieu. Ainsi l’équation (3) représente uno ligne fixe sur laquelle se meut le point M, quand on fait varier le paramètre a.

Réciproquement, lout point M, dont les coordonnées x et y vérifient l’équation (3), appartient au lieu. Car, si l’on détermine 1a valeur de a qui vérifie l’équation (1), dans laquelle on attribue à x et y les valeurs précédentes, on obtient uu système de valeurs des trois quantités x , y, a vérifiant le système des équations (1) et (3). Le système des équations (t) et (2) étant équivalent à celui-là, l’équation (2) sera vérifiée par les mêmes valeurs ; on obtiendra ainsi deux lignes A et B [tassant par le point M.

Il peut arriver cependant qu’à un système de valeurs réelles de x et de y vérifiant l'équation (3) corresponde une valeur de a, pour laquelle les équations (t) et (2) ne représentent pas de ligues, c’est ce qui aurait lieu, par exemple, si la valeur a était imaginaire. Mais, dans tous les cas, les valeurs de x et y satisferont aux deux équations (t) et [2).

99— Considérons maintenant deux équations

renfermant deux paramètres variables a et 6, liés entre eux par l’équation

Si l’on attribue au paramètre a une valeur particulière, l’équation (t>) détermine une valeur correspondante de b, et les deux équations (4) et (5) représentent deux lignes A et B se coupant au point M. Le paramètre a variant d une manière continue, le paramètre b variera aussi d’une manière continue, ainsi que les deux lignes A et B, et le point d’intersection M décrira une ligne PQ.

On obtiendra l’équation de celte ligne en éliminant les deux paramètres a et 6 entre les trois équations (4), (5), (6). En effet, éliminer a et 6 entre ces trois équations, c’est trouver une équation

ne renfermant plus a et b, et qui, jointe aux deux équations (4) et (5), forme uu sjstème équivalent au système des trois