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équations proposées. Quand ou attribue à a et b des valeurs vérifiant l'équation (6), les coordonnées x et y du point M, jointes à ces valeurs de a et de b, forment un système de valeurs des quatre quantités x, y, a, b vérifiant à la fois les trois équations (4), (5), (6). Puisque le système des trois équations (4), (3), (7) est équivalent au système précédent, ces valeurs vérifient aussi l’équation (7); celle dernière équation, étant indépendante de a et de b, est vérifiée par les coordonnées a: et y de tous les points du lieu. Réciproquement, tout point M dont les coordonnées a; et y vérifieut l’équation (7), appartient au lieu; car, si l’on détermine les valeurs de a et de 6 qui vérifient les deux équations (4) et (a), dans lesquelles on attribue à x et à y les valeurs précédentes, on obtient un système de valeurs des quatre quantités x, y, a, b vérifiant le système des trois équations (4), (5), (7). Le système des trois équations (4), (5), ((!) étant équivalent à celui-là, l’équation (6) sera aussi vérifiée, et l’on aura deux lignes A et B passant par le point M.

100-11 est facile de généraliser ce qui précède. Supposons que les deux équations

renferment n paramètres variables a, b, c, , A. liés entre

eux par n — I équations de condition

? la, b, c, ,A) = 0,

<tt {a,b.c, , A)=0,

Si l’on attribue au paramètre a une valeur particulière, les valeurs correspondantes des n — 1 autres paramètres sont déterminées par les n — 1 équations (10), et les deux équations (8) et (9; représentent deux lignes A et B se coupant en un poinlM. Quand on fait varier le paramètre a, les autres varient simultanément, et le point M décrit un lieu. On obtient l’équation de B8. • 6

ce lieu en éliminant les n paramètres entre les n+l équations (8), (9), (10).

fOl -Nous avons supposé que les deux paramètres variables a et b contenus dans les équations (-4) et(3) sont liés par une équation de condition (G). Si ces deux paramètres étaient liés par deux équations de condition , leurs valeurs seraient déterminées par ces deux équations, les deux courbes A et B seraient fixes, ainsi que le point M, et il n’v aurait pas de lieu. Si, au contraire, les deux paramètres n'étaient liés par aucune relation, ou pourrait leur attribuer des valeurs telles que les deux courbes A et B se coupassent en un point donné à volonté dans le plan, et le point M décrirait tout le plan.

En général, quand les équations des deux lignes A et B renferment n paramètres variables, il faut, pour que le point d’intersection décrive un lieu, c’est-à-dire une ligne, que ces n paramètres soient liés par n — t équations de condition. Ces n— I équations de condition, avec les équations des deux lignes A et B, forment de la sorte un système de n + I équations, renfermant n+2 quantités variables a, b, c h, x, y, dont une

seule est arbitraire. Si le nombre des équations de condition n’était que n— 2, ces équations, avec les deux équations des lignes A et B, formeraient un système de n équations entre n+2 quantités variables; deux quelconques de ces quantités, par . exemple x et y, pourraient être prises à volonté.

Il peut arriver que les deux lignes variables A et B se coupent en plusieurs points; le calcul précédent donne le lieu décrit par l’ensemble de ces points.

PROBLÈME i.

103— Étant donnés un angle XOY et un point fixe I* dans le plan (fig. 36), par le point P on mène une sécante fixe PBA et une sécante mobile PUE, on mène les droites T AI), BC; trouver le lieu de leur point de rencontre M.

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Prenons les droites OX et OY pour axes des coordonnées, et désignons par x, et y, les coordonnées du point P. La sécante fixe PDA aura une équation de la forme ,V — .'A = « (*—*,),

dans laquelle le paramètre a a une valeur constante. De même la sécante mobile PDC sera représentée par l'équation

dans laquelle m désigne un paramètre variable. Si, dans chacune de ces équations, ou fait successivement y=z 0, x=o,on obtient les coordonnées des points où ces droites rencontrent les axes des coordonnées,

y=yi

—ax,,

— inx,.

En appliquant la formule du n» G7, on a les équations des droites AD, CB,

x. — — y, — ax, * m J ' 1

Les valeurs de x et y, qui vérifient les deux équations simultanées (1) et (2), sont les coordonnées du point d’intersection M des deux droites AD et RC; ces coordonnées varient avec le paramètre arbitraire m. Si l’on retranche les deux équations membre a membre, on obtient l’équation

ou plus simplement

(y,— roxjfy,— ax,)

(ytx+ x,y) = 0

qui, jointe à l’équation tU, forme un système équivalent au

système des deux équations (1) et (2). Tant que le paramètre m a une valeur différente de a, le premier facteur étant différent de zéro, les coordonnées x et y du point M doivent annuler le second facteur. Ainsi, les coordonnées de tous les points du lieu vérifient l’équation

ytx+xty =0, ou

Ce lieu est une droite OL passant par l’origine.

Quand m=a, le système des deux équations (1) et (2) se réduit à l’équation (I); les deux droites coïncident et leur l>oinl d’intersection est un point quelconque de la sécante fixe PA.

Si l’on avait fait l’élimination d’une autre manière, si l’on avait, par exemple, tiré la valeur de m de l’équation I) pour la porter dans l’equation (2), on aurait obtenu une équation du second degré, dont le premier membre serait déconqtosable en deux facteurs du premier degré et qui, par conséquent, représenterait deux droites, le lieu OL et la droite 1*A. Cette équation serait

On voit que l’équation (T) ne contient pas le paramètre constant a ; il en résulte que le lieu est indépendant de la position particulière attribuée â la sécante fixe PA. On en conclut le théorème suivant : Étant donnés un angle XOY et un point fixe P dans son plan, si, par le point P, on mène deux sécantes quelconques PA, PC, le point de rencontre M des deux droites AD et BC est toujours situé sur une même droite OL.

Nous remarquons encore que l’équation (4) ne dépend que

du rapport c’est-à-dire du coefficient angulaire de la droite

OP. Ainsi le lieu OL restera le même, si l’on déplace le point P sur la droite OP passant a l’origine.