LIV. ||, CHAP. III —LIEUX GÉOMÉTRIQUES
PROBLEME II
103 — Les côtés d’un triangle variable ARC tournent autour de trois points fixes P, P’, P", placés en ligne droite, tandis que
deux des sommets A et B glissent sur deux droites fixes ID et IE ; Iroueer le lieu décrit par le troisième sommet C (fig. 57).
Prenons pour axe des x la droite des pivots P P' P'', et pour axe des y une droite quelconque menée par le point P.
Soient p' et p" les abscisses des
Fi{. 57
points F et F',
(t) y + ax + <* = 0,
(2) ÿ+fej-|-p = 0
les équations des droites tixes IA, IB. Pour construire une position particulière de la figure variable, on peut mener par le point P une droite arbitraire PAB, puis joindre les points A et B respectivement aux points P' et P". Nous prendrons j>our variable arbitraire le coefficient d’inclinaison m de la droite PAB ; l’équation de cette droite sera alors (3) y — mx=0.
La droite AP', passant par le point de rencontre des droites (I) et (3), est représentée par une équation de la forme (y — mx) + X(y + ar-f «) = 0;
on détermine X eu exprimant que cette droite passe par le point F, c’est-à-dire que son équation est vérifiée para;=p', mp'
y= 0; il en résulte X= droite AF est
(4) y— mx -f
ap1 + a mp'
par suite l’équation de la
(y+aj + a)=0.
bp' «
L’équation de BP" se déduit de la précédente par le changement de p' en p", de a en 6 et de « en p, ce qui donne
(S) y—mx+~^-^{y+bxJr^)=0.
HO
Les valeurs de x et de y qui vérifient simultanément les équations (4) et (5) sont les coordonnées du point C, coordonnées qui dépendent de la variable arbitraire m. Si l’on retranche membre à membre les deux équations (41 et (5), on obtient l’équation
le>, r p'{y + ax+*) pT'(y + bx+ P)1„
qui, jointe à l'équation (4), forme un système équivalent au système des deux équations (4) et (5). Tant que m est différent de zéro, les coordonnées x et y du point M doivent annuler le second facteur. Ainsi les coordonnées de tous les points du lieu vérifient l’équation
p'iy + QX + a.) p"(y+6.r + P)
‘ ap' + a 6p"+p
Ce lieu est une droite; l’équation (7) étant vérifiée par les valeurs de x et y qui satisfont à la fois aux équations (t) et (2), on en conclut que cette droite passe par le point de concours I des deux droites données IA et IB.
Quand m= 0, les deux équations (4) et (5) se confondent, les deux droites AP' et BP" coïncident et leur point d’intersection est un point quelconque de la droite PP'. Faisant l’élimination d’une autre manière, on aurait obtenu l’équation du second degré
.. T //(y+ax+a) p"(y+ôa;-|-fi)']n
J L ap' + « l»p" + P J ’
représentant à la fois le lieu IC et la droite PF.
104 — Corollaire I. On déduit de ce qui précède la solution de ce problème : Inscrire dans un triangle IDE un second triangle dont les côtés passent respectivement par ti ois points donnés P, P', P" en ligne droite. Si l’on conçoit un triangle variable dont les côtés soient assujettis à passer par les points P, F, F', tandis que deux des sommets A et B glissent sur les droites 1D, IE, le lieu du troisième sommet C est une droite IC. Le point de rencontre C, des droites IC et DE est donc l'un des sommets du triangle cherché; les droites C,F, C,F' donnent
LIV. Il, CHAI». III. — LIEUX GÉOMÉTRIQUES, les deux autres sommets A, et B,. Il est à remarquer que cette solution n’exige aucun autre instrument que la règle.
MOS— Corollaire II. On peut aisément généraliser le problème précédent. Considérons un quadrilatère dont les quatre
y côtés pivotent autour
zfi île quatre points fixes
P, F, F', P'" situés en ligne droite, tandis que trois sommets A, B, C glissent sur trois droites llxes R, S, T ; et proposons de chercher le lieu décrit par le quatrième sommet (fig. 58).
Les trois côtés du triangle BCE pivotent autour des trois points fixes P, P", P111, tandis que deux sommets B et C glissent sur les droites fixes S et T ; le sommet E décrit donc une droite EF. D’après cela les trois côtés du triangle AED pivotent autour des trois points lixes P, P', P", tandis que deux sommets A et E glissent sur les deux droites R et EF ; le sommet D décrit donc une ligne droite.
Du quadrilatère on passera de la même manière au pentagone. Ainsi, quand les n côtés d’un polygone pivotent autour des n points fixes situés en ligne droite, tandis que n — I sommets glissent sur n — I droites fixes, le n* sommet décrit une ligne droite.
On en déduit le moyen d’inscrire dans un polygône de n côtés un autre polygone de n côtés passant respectivement par n points fixes en ligne droite.
PROBLÈME lit.
*©G- Etant donné un triangle AB\' ,par un point fixe 0 pris sur un côté AA', on mène une sécante mobile OCC', on fait passer un premier cercle par les trois points OAC et un second cercle
par les trois points OA'C' ; trouver le lieu du point d’intersect| lion M de res deux cercles (lig. 59).
Prenons la droite OA' pour axe des x et une perpendiculaire OY menée par le point 0 pour axe des y.
En appelant a et a' les abscisses des points A et A', les deux droites fixes AB, A'B seront représentées par les équations Fie- 5#- (t) y=a(x— a),
et la sécante mobile OC par l’équation
(3) y=mx,
dans laquelle m désigne un paramètre variable. On obtient les coordonnées du point C en résolvant les deux équations simultanées (1) et (3), ce qui donne
a* mai
Tout cercle passant par les deux points 0 et A a une équation de la forme
x' + y'—ax—py= 0,
dans laquelle le paramètre fi est arbitraire. On détermine ce paramètre en exprimant que le cercle passe par le point C, ce qui donne
afnm-H).
le cercle qui passe par les trois points 0,A,C a donc pour équation
(4) x’ + y* — ax —
a (am + t)
Si, dans cette équation, on remplace a et a par a' et a1, on obtiendra évidemment l’équation du cercle qui passe par les trois points 0, A', C',
Pour avoir l’équation du lieu du point d’intersection M des
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deux cercles, il faut éliminer le paramètre variable m entre, les deux équations (A) et (5). En égalant les valeurs de m tirées des équations (A) et (5), on obtient l’équation
— axl — a y a^x’+ÿ1 — a'x) — a 'y
(x,-fÿ* — «xi+a«ÿ (x'+ÿ1— <*'x)+a'Vÿ ’ qui, mise sous forme entière, s’écrit
(a — a') [(x’+y* — a.r) (x'-f-y* — a'xj+aa'y»!
+ (I ^-afl'lÿ[a/(X,^-ÿ, — ax) — a(x*+y’ — a'x) 1=0, ou
(a— a') l («+«')x(x,+ y’I+aa'^+y*) ]
+ (l+aa') (a1 — a) y (x’-t-y’) = 0 ; en mettant x’ + ÿ’en facteur commun, et divisant par a — a1, on a l’cquation
(1 (a — otO
(6) (x*+y»)[xH-y»-(g+«0-r- - ««/1=0.
Cette équation se décompose en deux ; l’une, x‘+y’ = 0,
donne le point O où se coupent toujours les deux cercles mobiles; l’autre
(7) (X* + y ») — (a -f a') X - ^ y +aa' =0
est l’é(|uation du lieu du point M. Ce lieu est un cercle.
On reconnaît à priori que les trois points B, A, A' appartiennent au lieu. Car, si la sécante mobile passe par le point B, les deux cercles se coupent en B; ce point fait partie du lieu. Supposons que la sécante devienne parallèle à la droite A'B, le point C' s’éloignant à l’infini, le second cercle coïncide avec la droite OA', qui coupe en A le premier cercle on obtient de même le point A', quand la sécante devient parallèle à AB. Il est d’ailleurs facile de vérifier sur l’équation (7) que le lieu passe par les trois points B, A, A'. Ainsi le lieu demandé est le cercle circonscrit au triangle ABA'.
' PROBLÈME IV
1© 7— Étant donnés un cercle et un point fixe P à l’intérieur du cercle, autour du point P on fait tourner un angle droit
APB; on joint par une droite tes deux points A et B, où les côtés de l'angle droit rencontrent le cercle, et on abaisse du point I* une perpendiculaire PM sur la droite AB; trouver le lieu du pied M de la perpendiculaire (fig. 60).
Prenons pour axe des x le diamètre OP, pour axe des y un diamètre perpendiculaire; le cercle donné est re- Fie. 60. présenté par l’équation
(t) x*-fÿ,= r’.
Soit
(2) y=ax + b
l'équation de la sécante AB. Si l’on élimine y entre les deux équations (1) et (2), on obtient une équation du second degré
(3) (l+a*)x*-f-2a6x+6'— r’=0, dont les racines sont les abscisses x1 et x" des points A et B; les ordonnées ÿ et y " auront pour valeurs ax’-f fc, ax"-j-è. Si l’on appelle a la longueur constante OP, les deux droites PA, PB ont pour coefficients angulaires
ax' -+- b ax" + b X ' — a ’ x" — a
l’angle APB étant droit, on a la condition ( ax'-\-b ) (ax"-{-b)
qui s’écrit
(1 +a,i x'tf'-j- \ab — a) ix'+x") -p b * H- “ *=0; si l’on remplace x'-px7 et x'x" par leurs valeurs tirées de l’équation (3), cette équation devient
(4) (t+a’ila’ — r*) -f2è(aa.-pi()=0.
Telle est la relation qui existe entre les deux paramètres variables a et b.
La perpendiculaire PM, abaissée du point P sur la droite AB, a pour équation
