LIV. II, CHAP. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Le point M est défini par les équations (2) et (5), dans lesquelles les paramètres variables a et b satisfont à l’équation (A); on obtient l’équalion du lieu du point M en éliminant ces deux paramètres entre les trois équations (2), (A), (S). De l’équation

(5) on tire

de l’équation (2) on déduit ensuite

{ l/’ + I.T—aU

En portant ces valeurs dans l’équalion (A), on obtient l’équalion

(6) [y*+(ar-«)’][ar'+y,-«x+^:^]=0.

Cette équation se décompose en deux; l’une y'+(x— a)* = 0 donne le point P; l’autre

(7) x'+y'—*x + a-^—=0 représente le lieu cherché.

Il est évident que le point P n’appartient pas au lieu géométrique tel qu’on l’a défini; mais il est facile de comprendre comment l’analyse l’introduit dans le résultat. Les coordonnées x-=a, ?/=<) du point P vérifient l’équation (5), quels que soient les paramètres; on pourra donc déduire des deux équations (2) et (A) des valeurs correspondantes des deux paramètres a

et b; on trouve ainsi a—±\/ — 1,1»=: — a a. C’est une application de la remarque faite au n» 98.

L’équation (7) montre que le lièu est un cercle ayant son centre sur la droite OP. Pour le construire, il suffit de déterminer les deux extrémités du diamètre CD; si l’on mène des droites AB', RA' faisant des angles de A?»11 avec le diamètre OP, le« cordes AA', BB', étant perpendiculaires sur ce diamètre, donneront les deux points C et D.

10$- Remarque. La circonstance que nous venonsde signaler se présentera toutes les fois que l’une des deux courbes variables Aet B, dontl’intersection donne un point M du lieu(n°98).

t«2 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

passera par un point fixe P. En effet, supjiosons que les équations des deux lignes contiennent n paramètres variables liés entre eux par n — t relations; si les coordonnées x, et y, d’un point fixe P satisfont à l’équation de la ligne A. quelles que soient les valeurs des paramètres, en remplaçant x et y par x4 et y, dans l’équation de la ligne B, on aura une équation qui, jointe aux n — I équations de condition entre les paramètres, formera un système de n équations pour déterminer les valeurs de ces paramètres. Ce point P sera étranger au lieu géométrique, si aux valeurs trouvées ne correspondent pas de lignes.

proiilème v.

109 — Trouver le lieu des points tels que les perpendiculaires abaissées de chacun d’eux sur les trois côtés <Tun triangle ABC soient en ligne droite.

Supposons la figure rapportée à deux axes rectangulaires quelconques, et soient

(1) y—ax— a=0, (2) y— bx— p=0, (3) y— ex— y=0, les équations des côtés BC, CA, AB. Les coordonnées x, , y, du pied de la perpendiculaire abaissée du point (x, y) sur la droite (t) sont données par les formules du n« 7(i

y — ax — a

y—ax — « a’+l

Les coordonnées (x,, y,) , (x,, y,) des pieds des perpendiculaires abaissées du même point (x, y) sur les droites (2) et (3) se déduisent des formules analogues

v—bï—JL

6* -fl ’

y— ex— y c’+l

y— ex — y

On obtient ensuite l’équation du lieu cherché en égalant entre

eux les deux rapports — — — , — — — , rapports que l’on peut x, x, x, — x,

écrire ainsi ~ , p — — , On ar-

(X,— X) — ( x,— x) (x,— x) — lx,—y)

rive finalement à l’équation

L!V. Il, CHAI*. III. — LIEUX CÉOMÉTRIQUES. 03 (7) (y-ax— a) ly-bx-fi) ta— b i (c*+t)

+ (U — bx — p) (y— ex — y)(6 — e) (a’+l)

+ ty— ex— i)ty— ax— a) le— a) (6*-fl)=0.

En développant l'équation (7), qui est du second degré, on voit que les coefficients de xl et de y ! sont égaux et que celui de xy est nul ; le lieu est donc un cercle. D’ailleurs, celte équation est vérifiée par les coordonnées des points de concoure des droites données ; le lieu est donc le cercle circonscrit au triangle.

PROBLÈME VI

11 0— Démontrer que, quand deux triangles ABC, A'B'C

ont leurs sommets correspondants i\ (A, A'), (B, B'), (C, C'j situés sur

V trois droites OA, OB, OC passant

jkA par un même point O, les points

/p-A d' intersection M,N,P des côtés cor-

\ \>c" respondanlt (BC, B'C'), (CA, C AO,

\ (AB, A'B'i sont situés sur uneméme

\ ligne droite Ifig. 01).

Supposons la figure rapportée à un système quelconque de cuor- Fig s, données rectilignes, et soient

(1) A=zO, (i) B=0, (3) P=0, (4) l> =u les équations des droites OA, OB, PA, PA', les lettres A, B, P, P' désignant quatre fonctions linéaires des coordonnées a: et y. Les équations des droites AC , BC seront de la forme

(5) P+XA=0, (6) P+(tB=0, et celles des droites A'C', B'C' de la forme

(7) P'+X'A=0, (8) P’-fyB=0.

Les quatre constantes X, p, X', (*' sont liées entre elles par une relation résultant de ce que les trois points O, C, C'sont en ligne droite. On obtient cette relation de la manière suivante : l’équation

(9) XA — uB=0,

<|ue l’on oblient en retranchant les équations (5) et (G) membre à membre, représente une droite passant par le point C; cette même droite passe d'ailleurs par le point 0; c’est donc la droite OC. On a de même l'équation de la droite OC'

Pour que lis deux droites (9) et (10) se confondent, il faut que l’on ait

Telle est la relation cherchée.

Si l’on multiplie les deux membres des équations (.%) et (7) respectivement par V et X et que l’on retranche, on oblient l'équation

(12) X'P— XP'=0,

qui représente une droite passant par le point N; cette même droite passe évidemment par le point P. En opérant d’une façon analogue sur les équations (6) et (8), on trouve pour l’équation de MP

(13) p'P— [eF=0.

Les équations (12) et (13) sont identiques si la condition (11) est satisfaite; donc alors les trois points M,N,P sont en ligne droite.

On démontre de la même manière, que réciproquement, si les points M,N,P sont en ligne droite, les droites AA', BIT, CG' passent par un même point.

EXERCICES

1' Trouver sur la droite qui joint deux points donnés un point tel que ses distances aux deux points donnés soient entre «■Iles dans le rapport inverse de deux quantités données.

2“ Etant donnés dans un plan n points A, B, C,.... et n quantités m' , m , m'",.... qui correspondent à ces n points; sur la droite AB ou prend un point N,, tel que les distances de ce point aux deux premiers points soient dans le rapport de ni" à m' ; puis sur la droite N,C qui joint le point N, au troisième point C on prend un point N, tel que ses distances aux