LIV. Il, CHAP. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES
points N, et C soient dans le rapporldem^àm-l-»»"; puis sur la droite N,D qui joint le point N, au quatrième point I) un point N,, tel que ses distances aux points N, et D soient dans le rapport de m" à m'+m'+m"', et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on soit arrivé au dernier point donné ; trouver les coordonnées du dernier point division que l’on appelle centre des distances proportionnelles.
Lorsque les multiplicateurs m', m", m111,.... sont égaux entre eux, le dernier point de division s’appelle centre des moyennes distances.
* 1 3» Comme application, trouver le centre des distances pro-
portionnelles des trois sommets d’un triangle, et en déduire le centre de gravité, le centre du cercle inscrit, le |>oi nt de rencontre des trois hauteurs, et le centre du cercle circonscrit.
4° Trouver le lieu des points tels que la somme des produits des carrés des distances de chacun d’eux à » points donnés par des quantités constantes m', m", m'",.... soit égale à une quantité donnée.
5» Lieu des centres des cercles qui sont vus de deux points donnés sous des angles donnés.
6° Lieü des centres des cercles qui rencontrent, en des points diamétralement opposés, deux cercles donnés.
7° Lieu des points tels que la somme des distances de chacun d’eux à deux droites et en général à plusieurs droites données soit constante.
8° Sur deux droites rectangulaires OX, OY on construit un rectangle variable OACB ayant un périmètre donné 2a, la perpendiculaire menée au sommet C sur la diagonale AB passe par un point fixe.
9" Ayant fait la figure qui sert à démontrer le théorème du carré de 1 hypoténuse d’un triangle rectangle, démontrer que les deux droites qui joignent les extrémités de l’hypoténuse aux sommets des carrés construits sur les côtés opposés se coupent sur la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l’hypoténuse.
10» D’un point fixe I* on mène des tangentes aux cercles
qui passent par deux points donnés; trouver le lieu du point où la corde des contacts rencontre le diamètre qui passe au point P.
Il» Étant donné un hexagone régulier ABCDEF, on joint AC et AE; par le centre on mène une sécante quelconque qui coupe les deux droites AC et AE aux points G et H ; on joint BG et FP ; trouver le lieu du point de rencontre de ces deux droites.
12» Les circonférences décrites sur les trois diagonales d’un quadrilatère complet , comme diamètres , ont même axe radical.
13» Etant données cinq droites, on en prend quatre qui forment un quadrilatère complet, dans lequel les milieux des trois diagonales sont en ligne droite. Les cinq droites ainsi obtenues se coupent au même point.
14» Etant donnes trois points A,B,C, et deux droites X,Y; sur / Al! comme diagonale, on construit un parallélogramme dout les côtés sont parallèles à X et Y; on opère de même avec B,C etC, A; les. secondes diagonales des trois parallélogrammes passent au même point.
15» Etant données quatre droites A, B, C,D, on en prend trois pour former un triangle, dont on détermine le point de concours des hauteurs; les quatre points ainsi obtenus sont en ligue droite.
16» Trouver l’équation du cercle circonscrit a trois droites données par leurs équations, en coordonnées rectangulaires.
17» Étant donnés deux cercles lixes, deux cercles variables sont tangents entre eux et aux précédents ; trouver le lieu du point de contact des cercles variables.
18» On prend quatre poiuls arbitrairement sur une circonférence, les bissectrices des trois couples de droites qui passent par ces quatre points sont parallèles deux à deux.
tt)° Lieu du point tel que les cordes de contact des tangentes menées de ce point a trois cercles donnés se coupent en un même point.
