LIV. III, CHAP. I.— LIGNES DU SECOND DEGRÉ

Le produit variable PP' x PP" des deux segments de la droite FP" est égal au carré de l’ordonnée du cercle décrit sur PP' ^ comme diamètre; quand le point P va de P au point I, milieu J / de PP", l’ordonnée du cercle, et par suite la quantité Y qui / lui est proportionnelle, va en augmentant ; elle diminue au contraire quand le point P va de I en P'. La quantité Y acquiert donc sa valeur maximum, quand le point P est en 1, c’est-à-

dire quand x~ — , — = — — ; cette valeur maximum est

2 al

(X?1— jfW M

égale à . A partir du point C, milieu du dia-

mètre A' A", portons sur l’ordonnée, et de part et d'autre, une longueur égale à cette valeur maximum ; nous aurons deux points B' et B" de la courbe, et, en menant par ces points des parallèles au diamètre, nous formerons un parallélogramme FGKH, dans lequel sera comprise l’ellipse.

Il est clair qu’à deux points P et Q également distants du milieu I correspondent des valeurs égales de Y ; ces valeurs, portées de part et d’autre du diamètre DIF, donnent les quatre points M, M', N, N'. Les deux triangles CRM, CSN' étant égaux, les trois points M, C, N' sont en ligne droite et le point C est le milieu de MN'; ainsi tous les points de la courbe sont deux à deux symétriques par rapport au point C, milieu du diamètre A' A", et par conséquent ce point C est le centre de l’ellipse. On voit également que les deux droites MN, M'N' sont parallèles au diamètre A' A" et partagées chacune en parties égales par la droite B'B"; cette droite est un second diamètre. Les deux diamètres A' A", B'B", qui partagent chacun en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre, sont dits diamètres conjugués de l’ellipse.

113— Remarque. Si l’on désigne par K’ le nombre positif

N’— MP — — , on a

et l’équation (1) peut se mettre sous la forme

(îCy+Ba+Ey +(-M) (*+ ÿ)* + MK* =0.

Le premier terme est le carré d’un polynôme contenant les deux variables x et y, le second le carré d’un polynôme qui ne contient que la variable x , et le troisième un nombre négatif.

114 —2° N* — MP=0. Les deux racines cd et x11 sont

égales, et l’on a

le coefficient M étant négatif, la quantité Y est imaginaire pour toutes les valeurs de x, excepté pour x=xd , et alors Y=0. L’équalion n’admettant qu’un système de solutions réelles, le lieu est un point unique C placé sur la droite DD'. L’équation (1) dans ce cas prend la forme

(2Cy + Bx + Ey+(-M)(*+^y = 0.

115—3» N*— MP<0. Si l’on pose K » — le

ftr

trinôme Mx*-f 2Nx + P peut s’écrire

Ce trinôme est négatif, et par conséquent Y imaginaire pour toutes les valeurs de x; l'équation, n’ayant pas de solution réelle, ne représente aucun lieu géométrique. Dans ce cas l’équation (I) prend la forme

(2Cy+By + E)’+(-M) MK* = 0;

sou premier membre est une somme de trois carrés.