LIV. 111, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE

Y'Y, la courbe est située tout entière entre ces deux parallèles (fig. 75). A chaque abscisse OP, comprise entre ces limites, correspondent deux ordonnées PM, PM' égales et de signes contraires; quand x=0, l’ordonnée acquiert sa plus grande

valeur numérique |/ portons sur Y'Y, à partir de l’origine,

deux longueurs OB, OB' égales à , et par les points B, B'

menons deux parallèles à l’axe X'X ; la courbe est située tout entière entre ces deux nouvelles parallèles, et par conséquent elle est renfermée dans le rectangle CDEF formé par les deux couples de parallèles.

Si, pour abréger, on représente par a et b les deux quantités

l’équation prend la forme

d’où

Quand x croît de O à a, la valeur numérique de y décroît de b à 0, ce qui donne un arc de courbe BMA, et, à cause du double signe, l’arc égal B'M'A. Quand x varie de 0 à — a, la valeur numérique de y décroît encore de 6 à 0, ce qui donne deux autres arcs BM,.V, B'N'.V égaux aux premiers. Ces quatre arcs égaux forment l’ellipse.

La droite A'A est un oare de l’ellipse ; car à chaque abscisse OP correspondent deux ordonnées PM, PM' égales et de signes contraires. La droite B'B est aussi un axe de l’ellipse ; car si on résolvait l’équation par rapport à x, on verrait de même qu’à chaque ordonnée OQ correspondent deux abscisses QM, QM, égales et de signes contraires.

Les points A, A', B, B', où les axes rencontrent l’ellipse, sont les sommets de l’ellipse.

Les longueurs A'A, B'B des deux axes sont respectivement égales à 2a et à 26.

128 GÉOMÉTKIE ANALYTIQUE.

L’ellipse devient un cercle quand les axes sont égaux.

Il est aisé de voir que l’origine O est centre de l’ellipse ; en effet, soient x, y les coordonnées d’un point ^quelconque M de l’ellipse, il est évident que l'équation (1) est aussi satisfaite par les valeurs —x. — y; il existe par conséquent un second point N de l’ellipse qui a ses coordonnées — OP', — P N respectivement égales aux coordonnées OP, PM du point M, mais de sens contraire; les triangles OPM, OP'N sont égaux ; donc OM=ON, et la ligne MON est droite à cause des angles égaux POM, P'ON. Ainsi les points M et N de l’ellipse sont deux à deux symétriques par rapport au point O ; donc le point O est centre de l’ellipse.

144— Pour étudier comment varie la distance du centre aux différents points de l’ellipse, ou le rayon de l’ellipse, cherchons l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires, en prenant le centre 0 pour pôle et l’axe OA de la courbe pour axe polaire. Si dans l’équation (1) on remplace x et y par o cot ta, et p sin i» on a

p’cos1^» ( p,stn,w

Supposons a > b, et écrivons l’équation sous la forme

— r = — , + .— -, lsm’id.

Si l’on fait varier w de 0 à ■£-, la quantité croît, et par conséquent p décroît constamment de a à 6. Le maximum de p est a, le minimum b.

Fig. 76.

145 — Désignons par x et y les coordonnées d’un point quelconque du plan et considérons le polynôme

Pour un point M situé sur l’ellipse (tig. 70), le polynôme est égal à zéro.