PA ~~ PB ~~ PC ~~ PD

200 On décrit un cercle sur le grand axe d'une ellipse comme diamètre, l'ordonnée d'un point quelconque M de l'ellipse rencontre le cercle en un point N; si l'on appelle w l'angle que fait avec le grand axe le rayon vecteur FM, et u l'angle que fait avec le grand axe le rayon ON du cercle, on a les relations

p = a (1 — e cos u) , tang - = y l + e tang - • En désignant par S l'aire du secteur elliptique AFM, on a aussi

S = — (u — esina).

ai0 Une hyperbole équilatère bomofocale à une ellipse intercepte sur les côtés d'un angle droit circonscrit à l'ellipse deux cordes égales.

32° Un triangle étant inscrit dans une parabole, si l'on appelle R le rayon du cercle circonscrit an triangle, c, c', c" les cordes menées par le foyer parallèlement aux côtés, 6, 6', ô" les angles que font les côtés avec l'axe, on a

R sin ô'. sin 8" = p, 8jpR2 = cc'c".

a3° Soient A le sommet, F le foyer d'une parabole, (p, w), p\ o>') les coordonnées de deux points M et M' de la courbe, 6 l'angle MFM', S Taire du secteur AFM, A celle du secteur MFM', l la longueur de la corde MM' ; démontrer les formules suivantes employées en astronomie -

2pp' sin2

aV^?cos-=v/(p + P?-^

p + p' — 2 \/pp'cOS-

S= g(p + p) V/p(2P-p)=fjtang ^i + tang2^)* A = |\/p~7 sin^p + p' + vVcos-J

= j- (p + P' + VV cos -J y *p(p + P' - 2 v/p? cos -)j

v/ap r ft±sL±iy (L+eL=iy i.

a4° Considérons une ellipse rapportée à ses deux axes et un point extérieur P dont les coordonnées sont a et p; du point P on mène de& tangentes à l'ellipse et l'on joint chacun des points de contact aux deux foyers. Démontrer : i° que la distance S du point P à l'une quelconque

des quatre droites ainsi obtenues est égale à - \Ja^-\- 6V— a262,.

a et b désignant les demi-axes de la courbe; 2° que la somme ou> la différence des tangentes menées des deux foyers à la circonférence-, décrite de P comme centre avec 8 pour rayon est égale à 2a.

25° Calculer le paramètre et l'excentricité d'une courbe du second* degré définie par son équation générale. (On se servira des formules flu n° 143.}