CHAPITRE VIII

Fig. 160.

Sections coniques.

265. Théorème I. La section d'un cylindre circulaire droit par un plan quelconque oblique à la base est une ellipse. Par l'axe 00' du cylindre (fig. 160) menons un plan perpendiculaire au plan sécant; nous prendrons ce plan pour plan de la figure. Ce plan coupe le cylindre suivant deux génératrices opposées GG', HH', et le plan sécant suivant la droite AÀ'.

Dans le plan de la figure, décrivons deux cercles 0 et 0' tangents à la droite AA' e t aux deux génératrices GG7, HIT du cylindre ; il suffit pour cela de mener les bissectrices des angles A et A' jusqu'à leur rencontre en 0 et 0' avec l'axe du cylindre ; si, du point 0 comme centre, avec le rayon du cylindre, on décrit un cercle, ce cercle touchera les génératrices en G et H, et la droite AA' au point F ; le cercle décrit du point 0' comme centre touchera de même les génératrices en G' et H', et la droite AA au point F'. Imaginons maintenant que la figure tourne autour de l'axe 00'; la génératrice GG' engendrera la surface du cylindre, tandis que les deux cercles engendreront deux sphères inscrites dans le cylindre et le touchant intérieurement, la première suivant la circonférence de grand cercle GLH, la seconde suivant la circonférence de grand cercle G'L'H'. En outre, les deux sphères sont tangentes au plan proposé, la première au point F, la seconde au point F'. En effet, le plan de la figure et le plan proposé sont perpendiculaires entre eux; la droite OF, qui est tracée dans le premier plan perpendiculairement à leur intersection AA', est perpendiculaire au second plan; le plan,

AMA', étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon OF, est tangent à la sphère 0 au point F. On verrait de même que ce plan est tangent à la sphère 0' au point F'.

Cela posé, soit AMA' la courbe suivant laquelle le plan sécant coupe le cylindre; nous allons démontrer que cette courbe est une ellipse ayant pour foyers les points F et F. Joignons un point quelconque M de cette courbe aux deux points F et F'; par le point M passe une génératrice LU du cylindre ; cette génératrice touche la sphère supérieure au point L, la sphère inférieure au point L'. Les deux droites MF, ML, tangentes menées du même point M à la sphère 0, sont égales ; de même, les deux droites MF7, ML', tangentes menées du point M à la sphère inférieure, sont égales. Ainsi la somme des rayons vecteurs MF + MF', est égale à ML + ML', c'est-à-dire à la portion LL' de la génératrice comprise entre les deux cercles de contact ; longueur constante, car, dans le mouvement de révolution autour de 00', la génératrice GG' vient coïncider avec LL', On voit par là que la somme des distances de chacun des points de la courbe aux deux points fixes F et F' est constante etwégale à GG'; on en conclut que la courbe est une ellipse ayant pour foyers F et F'.

Corollaire, Les droites DE, D'E', intersections du plan sécant et des plans des cercles GH, GH', suivant lesquels les sphères inscrites touchent Je cylindre, sont les directrices de l'ellipse. En effet, par le point M menons un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre ; ce plan coupera le cylindre suivant un cercle NMN'. La droite DE, intersection de deux plans perpendiculaires au plan de la figure, est elle-même perpendiculaire à ce plan et, par suite, à la droite AA' ; il en est de même de la droite MP, intersection du plan du cercle et du plan sécant. Le rayon vecteur MF étant égal à ML ou à NG, et la perpendiculaire abaissée du point M sur la directrice DE étant égale à PD, le rapport des distances du point M au foyer et à la

NG directrice est p=r ; mais , a cause des parallèles PN , GD, ce

rapport est égal à celui de AG à AD, ou de AK à AA', rapport cou-

stant, puisque ces deux dernières longueurs sont constantes. Au foyer F correspond la directrice DE; au foyer F' la directrice D'E'.

266. Théorème IL La section d'un cône circulaire droit par un plan est une courbe du second degré. Menons par Taxe du cône un plan perpendiculaire au plan

sécant ; ce plan coupe le cône suivant deux génératrices SG, SH, et le plan sécant suivant la droite AA\

i° Considérons d'abord le cas où la droite AA' rencontre les deux génératrices SG, SH d'un même côté du sommet S (fig. 161). Décrivons deux cercles 0 et 0' tangents à la droite AA' et aux deux arêtes SG', SH'. Si Ton fait tourner la figure autour de l'axe SO', pendant que l'arête SG' engendre le cône, les deux cercles engendrent deux sphères tangentes au cône suivant les cercles de contact GH, G'H'. Le plan sécant est tangent à l'une des sphères au point F, comme perpendiculaire à l'extrémité du rayon OF ; il est aussi tangent à l'autre sphère au point F'

Cela posé, soit M un point quelconque de la courbe d'intersection ; la génératrice SM qui passe en ce point touche les sphères aux points L et L'; menons les droites MF, MF7. Les droites MF et ML sont égales comme tangentes menées du même point M à la sphère 0 ; les droites MF' et ML' sont égales comme tangentes menées du point M à la sphère 0' ; on a donc

MF + MF' = ML -f MU = LU

Or, la portion LL' de la génératrice comprise entre les cercles parallèles GH, G'H' est constante et égale à GG': donc la somme des distances de chacun des points de la courbe aux deux

Fig. 161.

points fixes F et F' est constante, et, par conséquent, cette courbe est une ellipse dont les points F et F' sont les foyers. La somme constante GG' est égale au grand axe AA'. Si par le point A' On mène A'K parallèle à GH, on détermine sur la génératrice une portion AK égale à la distance focale FF' ; car, si des longueurs égales GG', AA' on retranche, d'une part AG et KG', d'autre part les longueurs égales AF et AT', il reste deux longueurs égales AK, FF'.

Considérons les droites DE, D'E', suivant lesquelles le plan sécant est coupé par les plans des cercles de contact GH, G'H'. Si du point M on abaisse une perpendiculaire MP sur le grand axe, la distance du point M à la droite DE est égale à PD. Soit NMN' le cercle parallèle qui passe par le point M ; la longueur MF ou ML est égale à GN. A cause des parallèles DG, PN, on a GN==AG AK DP~~AD~~AA'' Ainsi, les distances de chacun des points de l'ellipse au foyer F et à la droite DE sont entre elles comme la distance des foyers au grand axe. Cette droite DE est une directrice de l'ellipse; la droite D'E' est la seconde directrice.

a0 Lorsque la droite AA' rencontre les deux génératrices SG et SH de part et d'autre du sommet (fig. 162), on a MF' — MF = ML' — ML = LU = GG'.

La différence des distances de chacun des points de la courbe aux deux points F et F' est constante ; cette courbe est une hyperbole qui a pour foyers les deux points F et F'. Les droites d'intersection du plan sécant et des plans de contact sont de même les directrices de l'hyperbole.

5° Supposons enfin que la droite AA' soit parallèle à l'arête SH (fig. i63). Décrivons une sphère Fis- 162- tangente au cône suivant le cercle

GH et au plan sécant en F. Soit DE l'intersection du plan se-

cant et du plan du cercle de contact GH. Par le point M de la

section menons la droite ME perpendiculaire àDE, et la génératrice SM, qui rencontre en L la courbe de contact; la droite ME sera parallèle à AA' et à SH ; donc les trois droites ME, SM, SH sont dans un même plan, et les trois points H, L, , E sur la droite d'intersection du plan de contact et du plan précédent. Les deux triangles MLE> HSL sont semblables ; puisque SL

est égale à SH, on a aussi ML = ME; mais ML = MF, comme

tangentes menées du point M à la sphère ; par conséquent,

MF=ME. Ainsi la courbe est une parabole dont le point F

est le foyer et DE la directrice.

Cette méthode si élégante, pour trouver les propriétés des

foyers et des directrices dans les courbes du second degré,

est due à Dandelin.

Fig. 163.

267. Placer une courbe du second degré sur un cône donné. — i° La courbe est une ellipse. Dans le triangle AA'K (fig. 160), oa connaît deux côtés AA', AK, qui sont le grand axe et la distance des foyers, ainsi que l'angle opposé à AA' qui est le complément de la moitié de l'angle au sommet du cône. Comme ie grand axe surpasse la distance focale, on peut toujours construire ce triangle; la perpendiculaire sur le milieu de A'K détermine le point S, et par suite tout ce qui fixe la position du plan sécant.

2° La courbe est une hyperbole. Dans le triangle AA'K (fig. 162), on connaît également deux côtés, ainsi que l'angle opposé à l'un d'eux; mais comme le côté opposé à l'angle donné est le plus petit, la construction du triangle n'est pas toujours possible. Il faut que l'on ait a >> c cos y (2a étant l'axe transverse, ic la distance des foyers de l'hyperbole, 2y l'angle

au sommet du cône); d'où cos y<- et, par suite, cosy<cos&f

en appelant Ô l'angle de l'asymptote avec le grand axe ; donc l'angle des asymptotes doit être plus petit que l'angle du cône.

3° La courbe donnée est une parabole. En joignant le centre O de la sphère au point G, on forme un triangle rectangle OAG (fig. i63), dans lequel on connaît le côté AG qui est le demiparamètre de la parabole, et l'angle OAG complémentaire de ô. Après avoir construit ce triangle, on élèvera OS perpendiculaire sur OA jusqu'à la rencontre de AG; une fois connue la distance SA, le problème est résolu.

En résumé, sur un cône donné on peut placer toutes les ellipses, toutes les paraboles, et toutes les hyperboles dans lesquelles l'angle des asymptotes est plus petit que l'angle du cône

268. Remarque. Supposons que les sphères employées précédemment soient toujours inscrites dans le cône, mais coupent le plan sécant; il suffît pour cela que les cercles générateurs soient tangents aux deux lignes SA, SA' et coupent AA' ; les intersections des sphères par le plan sécant sont des cercles, et l'on verra que, dans le cas de l'ellipse ou de l'hyperbole, la somme ou la différence des tangentes menées aces cercles d'un point quelconque de la courbe est constante ; que, dans le cas de la parabole, la tangente menée au cercle d'ur* point quelconque de la courbe est égale à la distance de ce point à une certaine droite.

Les géomètres grecs connaissaient les courbes du second degré comme sections d'un cône à base circulaire par un plan. Apollonius (247 ans avant J.-C.) a fait sur les sections coniques un traité en huit livres, dans lequel il rapporte ce qui a été trouvé avant lui, et expose ses propres découvertes sur cette matière. Le traité d' Apollonius contient les principales propriétés des sections coniques; nous citerons les deux théorèmes sur les diamètres conjugués (nos 162, i63 et 191), les propriétés des asymptotes de l'hyperbole, les propriétés élémentaires des foyers.

Extermination cies sections coniques.

2G9. L'équation générale du second degré

Ax2 + aBary + Gy2 + aD#+ *Ey + F = o

contient six coefficients ; mais, comme on peut diviser tous les termes par l'un des coefficients, pourvu que ce coefficient soit différent de zéro, l'équation ne renferme que cinq paramètres arbitraires, savoir les rapports de cinq coefficients au sixième. Pour déterminer une courbe du second degré, il faut donner les valeurs des cinq paramètres, ou bien cinq relations entre ces cinq paramètres ; mais, dans ce cas, il est nécessaire d'examiner si les cinq équations de condition admettent un système de solutions réelles, et si, en outre, l'équation du second degré correspondante représente bien une courbe ; autant les cinq équations de condition admettront de systèmes de solutions réelles jouissant de cette propriété, autant il y aura de courbes du second degré satisfaisant aux conditions proposées. En général, les relations entre les paramètres proviennent de conditions géométriques auxquelles doit satisfaire la courbe. Ainsi, on peut assujettir la courbe à passer par des points donnés, à être tangente à des droites données, etc. On exprimera que la courbe passe par un point donné, en écrivant que les coordonnées du point vérifient l'équation de la courbe, ce qui donne une relation du premier degré entre les coefficients. On exprimera que la courbe est tangente à une droite donnée, en écrivant que l'équation qui fournit les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite a deux racines égales, ce qui donne une relation du second degré entre les coefficients. Une condition géométrique qui se traduit par une relation entre les coefficients est regardée comme une condition simple. Une condition géométrique qui se traduirait par deux relations serait regardée comme double. Si, par exemple, on assujettissait la courbe à toucher une droite donnée en un

point donné, l'équation qui donnerait les abscisses des points d'intersection de la droite et de la courbe devrait admettre deux racines égales à une quantité donnée ; il en résulterait deux relations du premier degré entre les coefficients ; la condition géométrique énoncée devrait donc compter comme deux conditions simples. D'après cela, on dira qu'il faut cinq conditions géométriques pour déterminer une courbe du second degré.

Si l'on veut que la courbe soit une parabole, les coefficients devant vérifier la relation AC— -B2 = o, l'équation ne contiendra plus que quatre paramètres arbitraires et la parabole sera définie par quatre conditions.

De même, si l'on veut que la courbe soit une hyperbole équilatère, il faudra que les deux droites représentées par l'équation A#2+2B#y+Cy2==o, droites parallèles aux asymptotes (n° i3o), soient perpendiculaires entre elles, ce qui donne une relation entre les coefficients; lorsque les axes des coordonnées sont rectangulaires, cette relation estA-|-C=o. Quatre conditions suffisent donc pour déterminer une hyperbole équilatère.

Avant d'aller plus loin, il est bon de généraliser les définitions, afin d'éviter les restrictions qu'apporteraient les solutions imaginaires dans les énoncés des théorèmes.