GÉ0M. ANALYT

20 Dans une courbe au second degré, la perpendiculaire abaissée du foyer sur une corde et le diamètre conjugué de la corde se coupent sur la directrice.

3° Un demi-diamètre d'une ellipse ou d'une hyperbole est moyen proportionnel entre les droites qui joignent les foyers à l'extrémité du diamètre conjugué du premier.

4° Dans l'hyperbole équilatère, la distance d'un point quelconque de la courbe au centre est moyenne proportionnelle entre les distances de ce point aux foyers.

5° Trouver dans le pian d'une ellipse un cercle tel que la longueur de la tangente menée au cercle de chacun des points de l'ellipse soit une fonction rationnelle, entière et du premier degré, des coordonnées de ce point.

Démontrer que la somme ou la différence des tangentes menées de chacun des points de l'ellipse à deux cercles jouissant de la propriété précédente est constante.

6° Lieu du sommet d'un angle constant circonscrit à une parabole,

7° Par le foyer d'une parabole on mène une corde, et sur la corde comme diamètre on décrit un cercle, puis on mène au cercle des tangentes parallèles à une droite donnée ; trouver le lieu des points de contact.

8° Un angle constant tourne autour du foyer d'une courbe du second degré; au point où les côtés de l'angle rencontrent la courbe, on mène des tangentes à cette courbe; trouver le lieu du point d'intersection de ces tangentes.

9° Étant donnée une ellipse, en un point quelconque M, on mène la tangente que l'on prolonge jusqu'aux points P et Q, où elle rencontre les tangentes aux extrémités du grand axe ; trouver le lieu du point de rencontre N des droites F'P et FQ, et du point de rencontre N' des droites FP et F;Q. Démontrer que les deux points N et N' sont situés sur la normale au point M.

io° Étant donnée une courbe du second degré, une sécante tourne

autour d'un point fixe P ; on joint au foyer F les points M et M' où elle

PFM PFM/

coupe la courbe ; démontrer que le produit tang tang — — est

constant.

ii° L'angle sous lequel du foyer d'une courbe du second degré on voit la portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est constant.

i2° Un triangle étant circonscrit à une parabole, le point de concours des hauteurs est sur la directrice, et le cercle circonscrit au triangle passe par le foyer.

i3° Si, en un point quelconque M d'une ellipse, on mène une normale, la portion de cette normale comprise entre le point M et le petit axe a pour projection sur les rayons vecteurs menés du point M aux deux foyers une longueur égale au demi-grand axe.

i4° La portion de la normale comprise entre le point M et le grand axe a pour projection sur les layons vecteurs une longueur égale au paramètre de l'ellipse.

i5° Deux courbes du second degré ont un foyer commun ; si l'on mène de ce foyer des rayons vecteurs aux extrémités d'un diamètre quelconque de l'une des courbes, la somme ou la différence des rapports de ces rayons aux rayons de la seconde courbe qui ont la même direction, est constante.

i6° On prolonge les rayons vecteurs qui vont d'un point quelconque M de l'ellipse aux deux foyers F et F' jusqu'à leur rencontre en P et Q

avec la courbe ; démontrer que la somme -^ + =^r est constante.

170 Une rose des vents formée de m rayons tourne autour de son centre placé au foyer d'une ellipse ; démontrer que la somme des inverses des longueurs comptées sur cbaque rayon depuis le foyer jusqu'au point où il coupe l'ellipse, est constante.

180 D'un point quelconque P situé dans le plan d'une ellipse, on mène des tangentes à cette ellipse ; on abaisse du point P une perpendiculaire PC sur la corde des contacts AB ; les droites PC et AB coupent le petit axe en D et E ; démontrer que le cercle décrit sur DE comme diamètre passe par les deux foyers.

190 Étant données deux ellipses homofocales, par un point P on mène à l'une d'elles des tangentes qui rencontrent la seconde, l'une en A et B, l'autre en C et D ; démontrer que l'on a