POINTS ET DROITES IMAGINAIRES

270. Un système de valeurs réelles de x et de y détermine un point du plan ; par analogie, nous appellerons point imaginaire un système de valeurs imaginaires attribuées àx et y. Si deux systèmes de valeurs imaginaires sont de la forme x = a-\-bi> y = c-\-di et x=a—bi9 y = c — di, nous dirons que les deux points imaginaires sont conjugués.

Une équation du premier degré Àa? + By + C = o, à coefficients réels, est vérifiée par les coordonnées d'une infinité de points réels, dont le lieu est une ligne droite; mais elle est vérifiée aussi par une infinité de systèmes de valeurs imaginaires attribuées à x et à y ; car, si l'on attribue à x une valeur imaginaire quelconque, on en déduira pour y une valeur

imaginaire correspondante; si Ton 'donne à x deux valeurs imaginaires conjuguées, les deux valeurs correspondantes de y seront aussi conjuguées.

Par analogie, nous appellerons droite imaginaire l'ensemble des solutions d'une équation du premier degré à coefficients imaginaires. Il est à remarquer qu'une droite imaginaire passe par un point réel. Soit, en effet,

(A' + A'Y) x + (B' + B'O y + (C + Ct") = o, ou (A'a? + B'y + C) + i (A'a? + B"y + C") = o,

une droite imaginaire. Cette équation sera vérifiée par les coordonnées du point d'intersection des deux droites réelles A'ar + B'y + C' = o , A"a? + B"y + C' = o. L'équation générale du premier degré, renfermant trois coefficients et par suite deux paramètres arbitraires, deux points, réels ou imaginaires, détermineront la droite. Si l'on appelle x\ y', x", y" les coordonnées des deux points donnés, la droite qui passe par ces deux points aura pour équation

x" — x' y" — y' La droite qui passe par deux points imaginaires conjugués est réelle. Soient, en effet, x' = a-\-bi, y'=c + dk', x"=a — bir y"=c — di\ l'équation de la droite se réduit à

~b^ = ~ J" Le point qui a pour coordonnées

rf+x" y'+y

sera dit le milieu de la droite qui joint les deux points donnés; lorsque les deux points sont imaginaires conjugués, le milieu est un point réel.

Une équation algébrique f {x, y) = o, à coefficients réels, est vérifiée en général par les coordonnées d'une infinité de points réels, formant une courbe; elle est vérifiée aussi par les coordonnées d'une infinité de points imaginaires, conjugués deux à deux. Si les coefficients sont imaginaires, l'équation admet toujours une infinité de solutions imaginaires, mais seulement

un nombre limité de solutions réelles ; l'ensemble de ces solutions formera ce que nous appellerons une courbe imaginaire. Deux équations, lune du premier degré, l'autre du second degré en x et y, admettent deux solutions. On dira donc qu'une droite rencontre une courbe du second degré en deux points, réels ou imaginaires. Une droite réelle rencontre une courbe du second degré réelle en deux points, qui sont réels ou imaginaires conjugués. Ceci permet d'expliquer un fait qui s'est présenté déjà plusieurs fois; quand on cherche, par exemple, le lieu des milieux d'une série de cordes parallèles dans l'ellipse, on trouve par le calcul une droite indéfinie, et cependant le lieu, tel qu'il est défini géométriquement, ne se compose que de la partie intérieure à l'ellipse ; les sécantes extérieures rencontrent l'ellipse en deux points imaginaires conjugués, le milieu de la corde est encore un point réel, et le diamètre se prolonge ainsi en dehors de la courbe.