INTERSECTION DE DEUX COURBES DU SECOND DEGRE

271. Nous remarquerons d'abord que, si les deux courbes coïncident, c'est-à-dire si les deux équations sont vérifiées par les mêmes systèmes de valeurs des variables x et y, les coefficients sont proportionnels. En effet, les équations (i) Gif + i(Bx + E)y + {Ax2 + iDx + F) = o ,

(2) Gif 4- a(B'a? + E')y + (A'a?1 + aD'a? + F') = o ,

admettant les mêmes racines pour une même valeur de xf on a

c „ Bx + E AV + *b'x + F'

et, comme ceci doit avoir lieu quelle que soit x, on en conclut

ii — Ji ®— A — jD__F C'~~B,— E' — A'~ D'— F''

La réciproque est vraie : lorsque les coefficients sont proportionnels, les deux équations sont identiques, et les deux courbes coïncident.

Nous supposerons, dans ce qui suit, les courbes différentes,

c'est-à-dire les coefficients non proportionnels. Considérons d'abord le cas où les deux coefficients C et C sont différents de zéro; si Ton retranche les équations membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par C et C, on élimine y2 et Ton obtient une équation de la forme (3) 2(B,ar + E,)y + (Ai*?» + *ViX + Fi) = o,

qui, avec l'équation (1), forme un système équivalent au système des deux équations proposées (1) et (2). Les cinq coefficients B1? Ei9 Ai, Di, Fi ne peuvent être nuls à la fois; car si cela avait lieu, les coefficients des deux équations (1) et (2) seraient proportionnels. Si les deux coefficients Bi et E{ étaient nuls, l'équation (3) deviendrait Ai#2 + 2Dt#+ Fi = 0 ; elle donnerait pour x deux valeurs; à chacune d'elles, d'après l'équation (1), correspondraient deux valeurs de y; en tout quatre solutions. Supposons que les deux coefficients B 1 et Ei ne soient

F pas nuls à la fois; en général, la valeur x=z= — ~ , qui annule

Oi

le coefficient de y dans l'équation (3), n'annule pas le polynôme Ai#2 + 2Di#-(-Fiî dans ce cas, la quantité Bi^-)-!^ étant différente de zéro pour toutes les solutions de l'équation (3), on peut mettre cette équation sous la forme

A1ff2 + 2D1^-f Ft W y- 2(Bi# + E1) '

en portant cette valeur de y dans l'équation (1), on obtient une équation du quatrième degré (5) aQxk -f- ciiX* -j- a2x2 + azx + a4 = o,

qui, jointe à l'équation (4), forme un système équivalent au système des deux équations (1) et (3), et, par conséquent, au système proposé. Les cinq coefficients de l'équation (5) ne peuvent être nuls à la fois ; car, si cela avait lieu, l'équation (5) devenant une identité, les deux équations proposées seraient vérifiées par tous les systèmes de valeurs de x et y qui satisfont à l'équation (4) ou à l'équation (3) ; les deux courbes coïncideraient avec la courbe représentée par l'équation (3) et, par conséquent, auraient leurs coefficients proportionnels. L'équation (5) donne quatre valeurs pour x; à chacune d'elles correspond, d'après l'équation (4), une valeur dey, ce qui fait quatre solutions du système proposé.

Ei Si la valeur #=——- annulait le polynôme Ai^+aDi^+F^

l'équation (3) se mettrait sous la forme

(B^ + EJfo + ma + nJnro, et se décomposerait en deux équations distinctes, B1^+E1=o,

?/ -)- wa? + n = °î la première donne la valeur # = — — I, à

laquelle, d'après l'équation (1), correspondent deux valeurs de

y; de la seconde on déduit y=—mx—n9 et, remplaçant y par cette valeur dans l'équation (1), on obtient une équation du second degré en x, qui fournit deux nouvelles solutions; en tout quatre solutions. Cependant il peut arriver que cette dernière équation du second degré en x se réduise à une identité ; dans ce cas, les coordonnées de tous les points de la droite y-\-mx-\-n = ovèriûent\esdeux équations proposées, qui représentent alors des couples de droites, dont deux coïncident.

Si un seul des coefficients C ou C était nul, l'une des équations proposées serait de ïa forme (3), et on répéterait ce qui vient d'être dit,

Considérons maintenant le cas où les deux coefficients C et C

sont nuls à la fois. Si la valeur x = — — , qui annule le coeffi-

cient de y dans l'équation (2), n'annule pas le polynôme A'# 2 + 2D'# + F', on déduira de cette équation AV-f aD'g + F

et, substituant dans l'équation (1), on arrivera à une équation du troisième degré en x, ce qui donne trois solutions. Si la

E' valeur x = — •=- annule le polynôme AV + aD'ff+F'* l'équation (2) se met sous la forme

{B'x + E') {y + mx + n) = 0,

et représente deux droites B'# + E':=o, y-)- m# + ft=o, qui coupent la courbe (1), la première en un point, la seconde en deux points. Il peut arriver que l'une de ces droites appartienne à la ligne (1); dans ce cas, les équations proposées représentent des couples de droites, dont deux coïncident. On conclut de ce qui précède, que deux lignes du second degré

ne peuvent avoir plus de quatre points communs, à moins que ces lignes ne soient des couples de droites, dont deux coïncident. Lorsque les deux équations proposées ont leurs coefficients réels, les quatre points communs sont réels ou imaginaires conjugués.

272. Il est facile de former l'équation (5) qui, dans le cas général, donne les abscisses des quatre points communs à deux courbes du second degré. Soient AQy2 -\-Aly-\-A2 = o, A'ùy2-{-A'it/-{'A'2 = o9 les deux équations proposées, dans lesquelles A0 et A'0 désignent des constantes AA et A[ des polynômes du premier degré en x, A2 et A2 des polynômes du second degré. En retranchant ces équations membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par A'0 et A0, on a

En multipliant par A2 et A'2, retranchant et supprimant le facteur y, on a de même

L'élimination de y entre ces deux dernières équations conduit à l'équation du quatrième degré

273. Corollaire. Une équation du second degré, à coefficients imaginaires, ne peut admettre plus de quatre solutions réelles. En effet, le premier membre de l'équation est de la forme S + eS^ S et St désignant des polynômes réels du second degré ; si l'équation est vérifiée par des valeurs réelles attribuées à x et à y, on aura séparément S = o, St = o ; les points réels du lieu sont donc les points communs aux deux courbes réelles S = o, S^o, et ces points sont en général au nombre de quatre.

11 n'y a exception, d'après le numéro précédent, que lorsque ces lignes sont des couples de droites dont deux coïncident ; dans ce cas, l'équation du second degré représente elle-même deux droites, dont une est réelle. Enfin, si les deux lignes S =o, St =0' coïncidaient, le premier membre de l'équation proposée serait divisible par un facteur constant imaginaire, ~èt les coefficients de l'équation deviendraient réels.

GÉOM. ANALYT. 18

274. Lemme. Tous système de n équations du premier degré homogènes etàn-^ i inconnues, est vérifié par mie infinité de système de valeurs des inconnues, dont l'une au moins est différente de zéro.

Considérons d'abord une équation à deux inconnues.

ax-\-by = o.

Si les deux coefficients a et b étaient nuls, l'équation serait vérifiée par des valeurs arbitraires de x et y. Supposons que l'un des coefficients, par exemple b, ne soit pas nul ; l'équation

pouvant être mise sous la forme y = — - x, on attribuera à x

une valeur arbitraire ; à chaque valeur de x correspond une valeur de y. Ainsi l'équation proposée est vérifiée par une infinité de systèmes de valeurs de x et y, dont l'une au moins est différente de zéro.

Considérons maintenant deux équations à trois inconnues

ax -\- by -j- cz = o, a'x-\- b'y -\-c'z = o.

Si les six coefficients étaient nuls à la fois, les équations seraient vérifiées par des valeurs tout à fait arbitraires de x , y , z. Supposons que l'un au moins des coefficients, par exemple c, ne soit pas nul ; on pourra remplacer le système des deux équations proposées par le système équivalent

ax-\- by

(ac' — cal) x -\- (bcr — cb') y = o.

D'après ce que nous avons dit, la seconde équation est vérifiée par une infinité de systèmes de valeurs de x et y , dont l'une au moins est différente de zéro; à chacun d'eux correspond une valeur de z donnée par la première équation. Ainsi, le système des deux équations proposées est vérifié par une infinité de systèmes de valeurs de x , y , z, dont l'une au moins est différente de zéro.

Le même raisonnement peut être continué indéfiniment

Soient trois équations à quatre inconnues

ax -\-by -\- cz + dt = o,

ct,x+Vy + d'z + drt = o.

Si les douze coefficients étaient nuls à la fois, les équations

seraient vérifiées par des valeurs tout à fait arbitraires de

x, y, z, t. Supposons que l'un au moins des coefficients, par

exemple d, ne soit pas nul ; on pourra remplacer le système

des équations proposées par le système équivalent

ax -\- by -f- cz

[ad' — da') x -f- [bdr — db') y -f- {cdf — de') z = o,

(ad* __ da") x + {bd" — db") y + {cd" — de") z = o.

En vertu de ce qui précède, le système des deux dernières équations est vérifié par une infinité de systèmes de valeurs de x, y, s, dont l'une au moins est différente de zéro ; à chacun d'eux correspond une valeur de t donnée par la première équation.

275. Théorème I. Par cinq points donnés, dont trois ne sont pas en ligne droite , on peut faire passer une courbe du second degré, et on n'en peut faire passer qu'une.

Appelons (a?t,yt), {x%,y%), 0?3,y3)> {x„yh), (#s>«/8) les coordonnées des cinq points donnés. Pour qu'une ligne du second degré (i) kx* + 2Bxy-{-Cy*-\-2Dx-\-2Ey + F=o

passe par ces cinq points, il est nécessaire et il suffit que les cinq équations

A*: + 2QxiVi + Cy\ + 2Dx, + ^ + F == o, kx\ + 2B*2y2 + Cy\ + zDx2 + 2Ez/2 + F = o, (2) { Ax\ + *Bxtyt+Cy\ + *T)x9+2Eyz + F = o, kx] + 2BxAy, + Cyl + aD*4 + 2E*/4 + F = of A^ + 2Bs8y8 + Cyl + 2D*5 + 2Ey5 + F = o

soient satisfaites. Nous avons ainsi cinq équations, homogènes et du premier degré, entre les six inconnues A, B, C, D, E, F. Il résulte du lemme précédent que ces équations sont véri-

fiées par une infinité de systèmes de valeurs des inconnues, dont l'une au moins est différente de zéro. Nous remarquons que dans aucune de ces solutions, les cinq premières incon • nues ne sont nulles à la fois; car alors, en vertu de Tune quelconque des équations (2), on aurait aussi F — 0. Nous remarquons en outre que, si les cinq points donnés ne sont pas en ligne droite, les trois premières inconnues A , B , C ne peuvent être nulles à la fois; car l'équation (1) se réduirait au premier degré et représenterait une ligne droite passant par les cinq points. En attribuant aux six coefficients les valeurs qui constituent l'une des solutions précédentes, on obtient une ligne du second degré passant par les cinq points donnés. Ainsi, par les cinq points donnés on peut faire passer au moins une ligne du second degré.

Je dis maintenant que, si parmi les cinq points donnés il n'y en a pas trois en ligne droite, on ne peut faire passer par ces cinq points qu'une seule ligne du second degré ; car, s'il y en avait deux, ces deux lignes auraient cinq points communs ; mais nous avons vu (n° 271) que deux lignes du second degré, qui ne se composent pas de lignes droites, ne peuvent avoir plus de quatre points communs.

Les diverses solutions du système des équations (2), devant donner la même courbe du second degré, sont formées de quantités proportionnelles. Après avoir reconnu que l'une des inconnues est différente de zéro, on cherchera les rapports des cinq autres à celle-là, et on aura à résoudre un système de cinq équations du premier degré à cinq inconnues.

Les mêmes conclusions s'appliquent au cas où trois des points donnés, et trois seulement, sont en ligne droite. Le lieu du second degré est formé de cette droite et de celle qui passe par les deux autres points.

Lorsque quatre des points donnés sont en ligne droite, il y a indétermination. Le lieu du second degré se compose de cette droite, et d'une droite quelconque passant par le cinquième point,

276. Remarque. On peut, à l'aide d'un déterminant, former l'équation delà courbe du second degré qui passe par les cinq

DÉTERMINATION DES SECTIONS CONIQUES. 2ï7 points donnés. Considérons, en effet, le déterminant

xy

yi !

xzVz

x^Ji

Xsl/ô

yi 1

C'est un polynôme entier du second degré par rapport aux deux variables x et y. Il s'annule quand on y remplace x et y par Xi et y^ ; car alors les éléments de la première ligne horizontale deviennent égaux à ceux de la seconde. Il en est de même quand on remplace x et y par x2 ety2, et ainsi de suite. On en conclut que l'équation A = o représente une courbe du second degré passant par les cinq points donnés.

277. Corollaire I. Étant donné un quadrilatère abcd (fig. 164), désignons par ar=0, p — o les équations de deux côtés opposés ab, cd, par y=o , Srrro celles de deux autres côtés opposés bc y ad; l'équation

(3) Aap + ByS = o,

dans laquelle les coefficients A et B sont arbitraires, représente toutes les lignes du second degré qui passent par les quatre points a, b, c, d. Les lettres a, p, y, S désignant des polynômes du premier degré en x et y, l'équation est du second degré ; les coordonnées du point a, intersection des droites ab et ad, annulent les deux polynômes a et S et par conséquent le premier membre de l'équation (3) ; il en est de même des trois autres points b , c , d. Ainsi, quelles que soient les valeurs des coefficients A et B, la courbe représentée par l'équation (3) passe par les quatre points a, b, c, d. Cette équation représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points; car un cinquième point e détermine la courbe, et on peut attribuer au rapport des coefficients une valeur telle que la courbe passe par ce cinquième point pris à volonté dans le plan.

L'équation (3) a une signification géométrique très-simple : les polynômes a, p, y, S étant proportionnels aux distances d'un point quelconque {x,y) aux côtés du quadrilatère, elle indique que le produit des distances d'un point quelconque de la courbe à deux côtés opposés ab, cd du quadrilatère inscrit est au produit des distances de ce même point aux deux côtés opposés bc, ad dans un rapport constant. La valeur de ce rapport détermine la courbe.

En général, si Ton désigne par S = o, S1 = o les équations de deux courbes du second degré, l'équation S + kS 1=0, dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représente toutes les courbes du second degré passant par les quatre points communs aux deux premières.

278. Corollaire IL Proposons-nous de déterminer une parabole passant par quatre points réels donnés a, b, c, d. Si l'on joint ces points deux à deux par deux droites ab, cd qui se coupent et que l'on prenne ces droites pour axes des coordonnées, l'équation générale des courbes du second degré qui passent par les quatre points est

a et b étant les abscisses des points a et b, c et d les ordonnées des points c et d. Pour que le lieu soit une parabole, il faut que le paramètre k satisfasse à la condition

\ ad bc) abcd

Lorsque le produit abcd est négatif, on trouve pour k deux valeurs imaginaires, et il est impossible de faire passer une parabole réelle par les quatre points. Lorsque le produit est positif, ce qui revient à dire que l'on peut former un quadrilatère convexe ayant pour sommets les quatre points, on obtient pour k deux valeurs réelles différentes, et, par conséquent, deux lignes réelles du genre parabole passant par les quatre points. Si Ton pouvait réunir les points deux à deux par des droites parallèles, chaque couple de droites parallèles constituerait une solution.

^79. Corollaire III. Il est facile de former l'équation générale des courbes du second degré qui passent par trois points donnés a, b, c. Si l'on désigne par a= o, p = o, y — o les équations des trois droites bc, ca, ab, l'équation

(6) APy + Byoc + Cc# = o

représente une courbe du second degré passant par les trois points donnés. Cette équation renferme deux paramètres arbitraires, les rapports de deux des coefficients au troisième, et l'on pourra disposer des deux paramètres de manière à faire passer la courbe par deux autres points pris à volonté dans le plan.

280. Théorème IL On peut mené)' une courbe du second degré tangente à deux droites données, en deux points donnés, et passant par un autre point donné, et on n'en peut mener qu'une.

Pour qu'une courbe du second degré (?) ffay) = A#2 + aBary +Cy2+ 2Ï)x+2Ey + F=o soit tangente à une droite

(8) «(*— *i) + *(y— yi)=o,

au point (xl9 yj, il est nécessaire et il suffit que la courbe passe par le point (xl9 yt) et que le coefficient angulaire de la tangente en ce point soit égal à celui de la droite, ce qui donne deux équations

(9) f{xt>yi)=° > bf*Axi>yi)—afvi(x»yi)=°>

homogènes et du premier degré, par rapport aux coefficients A, B, C, D, E, F.

Nous aurons ainsi cinq équations, homogènes et du premier degré, entre ces six coefficients. Nous avons vu qu'un pareil système d'équations admet une infinité de solutions dans lesquelles l'une au moins des inconnues, autre que F, est différente de zéro; à l'une de ces solutions correspond une courbe du second degré satisfaisant aux conditions énoncées.

Il n'existe qu'une courbe du second degré satisfaisant à ces conditions ; car, s'il y en avait deux, l'équation du quatrième degré à laquelle on arrive quand on cherche leurs points

communs, aurait deux racines doubles et une racine simple, ce qui est impossible.