Corollaire I. L'équation (10) ap — kf = o

dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représente toutes les courbes du second degré tangentes aux deux droites a=o , p = o, aux points où elles sont coupées par la droite 1=o (fig. i65). La courbe est tangente à la première droite ;

car si Ton fait a = o dans l'équation de la courbe, on a y2 = o, et, par conséquent, les deux points d'intersection de la droite et de la courbe coïncident. Elle est de même tangente à la seconde droite, et les deux points de contact sont situés sur la droite y = o. L'équation (io) représente toutes les courbes jouissant de ces propriétés; car on peut déterminer le paramètre k de manière que la courbe passe par un autre point situé à volonté dans le plan.

Cette équation signifie que le produit des distances d'un point quelconque de la courbe à deux tangentes est au carré de la distance de ce point à la corde des contacts dans un rapport constant. En général, si l'on désigne par S = o l'équation d'une courbe du second degré, l'équation S — k^=o représentera toutes les courbes du second degré tangentes à la première en deux points situés sur la droite y = o.

Corollaire IL On peut déterminer le paramètre k par la condition que la courbe soit une parabole. Si l'on prend les deux tangentes pour axes des coordonnées, l'équation (io) devient

Pour que la courbe soit une parabole, il faut que la condition Ik j\ — = o soit vérifiée ; ce qui donne les deux so-

lutions #~ o, k = -j ; à la première correspond la droite ab; à la seconde une parabole dont l'équation peut être mise sous

la forme y/j+v/f -' = <>•

282. Application. Gomme application, formons l'équation du second degré qui représente l'ensemble des deux tangentes menées d'un point p de coordonnées xi,yi (fîg. i65) à une conique ayant pour équation

f(x,y) = Ax* + zBocy + Gtf + aDa -f »Ey + F = o.

L'équation de la corde des contacts ab est comme nous l'avons vu n° ia5

dont nous désignons le premier membre par y. Les deux tangentes pa et #6 constituent une conique bitangente à la conique donnée f(x, y)=o aux points situés sur la droite y = o : elles sont donc représentées par une équation de la forme

(b) f(x,y) — kf = o

où k désigne un coefficient constant qui reste à déterminer. Pour cela il suffit d'exprimer que la courbe (b) passe par un point pris sur la conique formée par les deux tangentes jpa etpbj exprimons qu'elle passe parle point p de coordonnées {x^yt)9 c'est-à-dire que l'équation (b) est satisfaite par x = xi,y — yi. Si dans y on fait x = xi,y = yi, y se réduit à jf(#i>ïi); on a d°nc la condition

f(xi,yi) — kfi(xi,yi) = o,

qui donne pour & la valeur -jr^—r , et l'équation demandée est

enfin

où y doit être remplacé par l'expression (a). Cette équation se nomme V équation quadratique des tangentes issues du point

282 bis. Bornons-nous à indiquer les résultats suivants qu'il est facile de vérifier (voyez nos 3o3 et 33i).

Soient a=o, p = o, y = o les équations des trois côtés d'un triangle. L'équation générale des coniques inscrites dans ce triangle est

X2oc2 -f- ^P2 ~t~ y2ï2 — a^vpy — aXvya — 2X^0$ = o

X,jjlsv désignant des paramètres variables. Cette équation peut s'écrire sous forme irrationnelle

(\/^+V/S+V/n) (v^H^HVn) (t/^+VS-Vn) ^-^-^ = 0

L'équation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère dont les quatre côtés ont pour équations

est +r.Y.s=o,

X étant un paramètre variable. (Voir n° 33i, exemples.)