CONDITIONS MULTIPLES

283. Reprenons l'examen des conditions géométriques par lesquelles on peut définir une courbe du second degré. Jusqu'ici nous n'avons parlé que des conditions simples, comme les points et les tangentes. Le centre équivaut à deux conditions; car si l'on prend le centre pour origine des coordonnées, l'équation du second degré, étant privée des termes du premier degré, ne contient plus que trois paramètres arbitraires; ainsi la courbe est définie par son centre et trois points.

Un diamètre, avec la direction des cordes, équivaut à deux conditions ; car si Ton prend le diamètre pour axe des x et une parallèle aux cordes pour axe des y, l'équation, étant privée des deux termes du premier degré en y, ne contient plus que trois paramètres arbitraires.

Un système de diamètres conjugués équivaut à trois condi-

tions ; car si on les prend pour axes des coordonnées, l'équation, devant se réduire à la forme aœ2 + ày2-\-c=o, ne contient plus que deux paramètres arbitraires. En général, soient a = o, p = o, les équations de deux diamètres conjugués, les dis<* tances a et p de chaque point aux deux diamètres conjugués étant proportionnelles aux coordonnées de ce point relatives à ces diamètres, la courbe sera représentée par l'équation (12) aaa + ip8 + (? = o,

avec deux paramètres arbitraires.

L'équation

(i3) kï+Ic^o

est l'équation générale des paraboles dont la droite a = 0 est

un diamètre, et la droite p = o la tangente à l'extrémité de ce

diamètre.

On sait que l'équation de l'hyperbole, rapportée à ses deux asymptotes, est xy = k. En général, soient a = o, p— 0, les équations des deux asymptotes, l'hyperbole sera représentée par une équation de la forme (14) a(5 — k = o,

ne renfermant qu'un paramètre arbitraire k. Ainsi les deux asymptotes équivalent à quatre conditions, et la courbe est déterminée par les deux asymptotes et un point ou une tangente. Si l'on ne donnait qu'une asymptote a = o, l'équation p = o de l'autre asymptote étant indéterminée, l'équation (14) contiendrait trois paramètres arbitraires , de sorte qu'une asymptote équivaut à deux conditions.

Nous avons vu que toute courbe du second degré a un foyer et une directrice ; il en résulte que l'équation

(i5) (#a)2 + (y-p)>-(m# + tty + A)2==o,

par laquelle on exprime la propriété du foyer en coordonnées rectangulaires, et qui renferme les cinq paramètres arbitraires a, p, m, n, h, représente toutes les courbes du second degré. Un foyer équivaut à deux conditions; car, si l'on donne un foyer, ses coordonnées a et p étant connues, l'équation (i5) ne contient plus que trois paramètres arbitraires.

De même, une directrice équivaut à deux conditions; car, en donnant l'équation de la directrice, on détermine les rapports de deux des paramètres m, n, h au troisième.

On peut se rendre compte d'une autre manière des résultats que nous venons d'obtenir. Il est clair que les deux coordonnées d'un point remarquable d'une- courbe du second degré, comme le centre, un foyer, un sommet, etc., sont déterminées lorsqu'on connaît les coefficients de l'équation du second degré et, par conséquent, qu'il existe deux équations entre ces coordonnées et les coefficients ; si donc on donne un pareil point, on aura deux relations entre les coefficients. Il en est de même des deux paramètres d'une droite remarquable, comme la directrice ou un axe, etc.; si cette droite est donnée, on aura encore deux relations entre les coefficients.

Ainsi, par exemple, si f(x,y) = o est l'équation delà courbe, on exprimera qu'un point donné est centre en écrivant que ses coordonnées vérifient les deux équations fx = o, fy = o. Pour exprimer qu'un point donné est un sommet, il suffit d'écrire que ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe et que la normale en ce point passe par le centre.

Il est à remarquer que les formes précédentes, sous lesquelles nous avons mis l'équation du second degré, rentrent dans la forme aj3 — kf — o, composée avec trois polynômes du premier degré a, p, y qui se rapportent, les deux premiers aux tangentes menées d'un point arbitraire p du plan, le troisième à la corde des contacts. Lorsque le point p coïncide avec le centre de l'hyperbole, les tangentes a et p sont les asymptotes; la droite des contacts s'éloignant à l'infini, le polynôme y se réduit à une constante, et l'équation «p — &y2 = o devient ap — k = o. L'équation (12) mise sous la forme

se ramène à l'équation (14).

284. Détermination des foyers d'une conique. Soient a,p les coordonnées d'un foyer d'une conique ayant pour équation f(x,y) = o. Nous avons vu (n° 216) que l'équation de la courbe

peut se mettre en coordonnées rectangulaires sous la forme (i5) (x — a)2 -f (y - p)2 — (mx + ny + h)2 = o.

Cette équation peut s'écrire

[(y — P) — *(ff— *)][& — p) + *(«— *)] — 0wa? + ny+*)1 = °

équation de la forme

PQ — R* = o

P, Q,R désignant trois fonctions linéaires de x et y. On peut donc dire que la conique représentée par l'équation (i5) est tangente aux deux droites

la corde des contacts étant la directrice lx~\-my -\-h = o.

Les deux droites (a) passent par le foyer (a,p) et ont pour coefficients angulaires -j- i et — - i; comme elles sont tangentes à la courbe, ce sont les deux tangentes menées du foyer (oc, p) à la conique. On peut donc dire que le foyer est un point tel que les deux tangentes menées de ce point à la conique ont pour coefficients angulaires do i : la directrice est la corde des contacts. On peut dire aussi que l'ensemble des deux tangentes menées du foyer (a,p) à la conique a pour équation, en coordonnées rectangulaires,

(aj.a)î+(y P)»==0,

équation identique à celle d'un cercle de rayon nul. Les deux tangentes issues du foyer forment donc une conique dont l'équation présente les caractères de l'équation d'un cercle : coefficient dexj nul, coefficients de x2 et y2 égaux.

De là une méthode nouvelle pour déterminer les foyers d'une conique, méthode qu'on peut présenter sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

i° Si l'on pose

Y = (Aa + Bp + D)a? + (Ba + Cp + E)y + Da + Ep + P, 'l'équation quadratique des tangentes menées du point (a, p) à la conique f(co9y) = o est (n° 282)

my)f(*,ïï-<(' = o

Pour exprimer que le point (a, p) est un foyer, il suffit d'exprimer que cette équation présente les caractères de l'équation d'un cercle : en coordonnées rectangulaires, coefficient de xy nul, coefficients de x% et y* égaux. On a ainsi les deux équations

qui déterminent a et p. Si dans ces équations on regarde a et p comme des coordonnées courantes, elles représentent deux coniques dont les points d'intersection sont les foyers : ainsi, lorsque la courbe donnée est une ellipse ou une hyperbole, ces deux coniques se coupent en quatre points distincts à distance finie qui sont les deux foyers réels et les deux foyers imaginaires de la courbe. On peut remarquer que l'élimination de /*(<x,p) entre les équations précédentes fournit une équation qu'on peut écrire sous forme abrégée

B(C-^)-(A-C)^fp:=0.

Cette équation, qui représente une conique passant par les foyers,, est l'équation de l'ensemble des axes de la conique (n° i37, éq. 24).

20 La recherche des foyers se trouve simplifiée si l'on a formé la condition

(d) au2 -f- 2,buv -f- cv2 + zdu + zev -f- f = o

qui exprime que la droite ux -f- vy -f- 1 = o est tangente à la conique donnée (n° 126). Soit (a,p) un foyer, les axes étant rectangulaires; la droite

y p — i(% — a) = o doit être tangente à la courbe. Or, pour cette droite particulière on a

p — ia p — t'a

Exprimant que ces valeurs de u et v vérifient la condition (d) on a, en développant et remplaçant i* par — 1

(e) f(a2 — p2) — ada+aep-h a - c + n (fap — e* — dp + b)

La droite

V — p + »(ff — a) = o

devant aussi être tangente à la conique, on obtient une deuxième condition qui se déduit de la précédente par le changement de i en — t. Donc, si le point réel ou imaginaire (a, p) est foyer, le coefficient de îet le terme indépendant de i doivent être nuls séparément dans la condition (c), et on a les deux équations

f (a2 — p2) — ada+ aep+ a— • C = o,

fap — ea — dp + b = o,

déjà obtenues plus haut (éq. c) sous une autre forme.

Quand les axes sont obliques et font entre eux l'angle 0, on exprime que les deux droites

y — p= (cosôzhi sinô)(# — oc) sont tangentes à la conique.