RECHERCHE DES SÉCANTES COMMUNES A DEUX COURBES DU SECOND DEGRÉ

285. Nous avons vu que deux courbes du second degré, S =- o, Si =o, ont en général quatre points communs; par ces quatre points, que nous supposerons d'abord distincts, on peut faire passer trois couples de droites. Lorsque les courbes sont réelles, les points communs sont réels, ou imaginaires conjugués deux à deux. Il y à trois cas à considérer : i° si les quatre points communs a, b, c, dsont réels, les trois couples de sécantes communes sont évidemment réelles; 2° si les quatre points sont imaginaires et conjugués deux à deux, par exemple a et b, c et d, les deux droites ab et cd, qui passent par deux points imaginaires conjugués, sont réelles; mais les quatre autres droites sont imaginaires ; car, si l'une d'elles ac était réelle, les points a et c où elle coupe les deux droites réelles

ab et cd seraient réels. La droite bd, qui pa&se par les deux points b et d respectivement conjugués des points a et c, est conjuguée de ac; de même la droite ad est conjuguée de bc; ainsi, dans ce cas, on a un couple de sécantes réelles ab et cd et deux couples ac et bd> ad et bc, formés chacun de deux droites imaginaires conjuguées; 3° lorsque deux des points d'intersection a et b sont réels, les deux autres c et d imaginaires conjugués, les deux droites ab et cd sont encore réelles, et les quatre autres imaginaires ; mais les deux droites imaginaires d'un même couple ne sont pas conjuguées ; car on sait qu'une droite imaginaire n'a qu'un point réel, qui appartient aussi à la droite conjuguée ; les deux droites imaginaires ac et bd, passant par deux points réels différents a et b, ne sont pas conjuguées.

286. La recherche des points d'intersection des deux courbes dépend de la résolution d'une équation du quatrième degré; mais on peut ramener la question à la résolution d'une équation* du troisième degré. L'équation S + *Sl = o, dans laquelle le paramètre X est arbitraire, représentant toutes les lignes du second degré qui passent par les points communs aux deux premières, on peut déterminer le paramètre X de manière que cette équation représente deux droites; les deux courbes admettant trois couples de sécantes communes, la valeur de X sera donnée par une équation du troisième degré.

Soient

( } \ k'x* + zB'xy + C'y1 + aD'a? -f- aE'y -f F = o ,

les équations des deux courbes. L'équation nouvelle sera

(17) (A + XA') x2 + 2 (B + XB')ffy... =0;

pour qu'elle représente deux droites, il est nécessaire et il suffit que le discriminant soit nul (n° 124) et par conséquent que la constante X satisfasse à l'équation du troisième degré

(A + XA') (G + XC) (F + XF) - (A + XA') (E + XE')8 - (C+XC) (D + XD')2~(F + XF')(B+XB')2 + 2 (B + XB') (D + XD') (E + XE') = o.

En ordonnant par rapport à X nous aurons une équation de la forme

(18) A-j-eX-fe^ + A'X^o

où A et A' sont les discriminants de S et S 4 et où 8 et 0' ont

les valeurs

8 ==A'a+2B'b + C'c-f2D'd+2E/e+F'f e,=Aa/+2Bb'+Cc,+2Dd/+2Ee/+Ff,

a, b, c, d, e, f étant les quantités déjà employées précédemment (n° 124 ) et a', b', c', d', e', f les quantités analogues formées avec les coefficients de la conique Sr

Une valeur réelle de X donne deux droites réelles, lorsqu'elle rend négative la quantité

(A + XA/)(G + XC,)~(B + XBy.

et deux droites imaginaires conjuguées, lorsqu'elle rend cette quantité positive; car le premier membre de l'équation (17) a ses coefficients réels et il se décompose en un produit de deux polynômes tlu premier degré, dont les coefficients sont, dans le premier cas, réels, dans le second cas, imaginaires conjugués (n° 125).

Une valeur imaginaire de X donne deux droites imaginaires non conjuguées. En effet, deux droites réelles ou deux droites imaginaires conjuguées sont représentées par une équation du second degré,

(19) M'x* -f 2B'^?/ -f C'y1 + 2D^ + iWy + F" = 0 ,

à coefficients réels. Les équations (17) et (19) représentant la même courbe ont leurs coefficients proportionnels; et comme X est une quantité imaginaire, on en conclut

GEOM. ANALYT. 10