CHAPITRE IX

Les deux équations (16) coïncideraient.

Supposons que l'équation (18) ait ses trois racines inégales. Les trois couples de droites étant distincts, les deux courbes ont quatre points communs distincts. D'après ce que nous avons dit précédemment, lorsque les trois racines sont réelles, les quatre points sont tous réels ou tous imaginaires; lorsqu'une seule racine est réelle, deux points sont réels et deux imaginaires. Pour distinguer les deux premiers cas, on examinera si les trois racines ou une seule rendent la quantité — f positive; dans le premier cas, les quatre points sont réels, dans le second, ils sont imaginaires.

287. Nous avons supposé jusqu'à présenties quatre points communs distincts. Si les deux points a et b coïncident, les deux autres étant distincts, les deux courbes sont tangentes au point réel a; le couple {ab,cd) se compose de la tangente en a qui est réelle, et de la droite réelle cd; les deux autres couples (ac, bd) (6c, ad) se confondent. L'équation du troisième degré admet donc une racine simple et une racine double, toutes deux réelles ; la premièredonne les deux droites réelles ab et ed, la seconde deux droites, réelles ou imaginaires conjuguées, suivant que les deux points c et d sont réels ou imaginaires.

Supposons que les deux points a et c coïncident, ainsi que les deux points b et d; les deux courbes sont tangentes aux points a et b, qui sont réels ou imaginaires conjuguées. L'un des couples de droites est formé des tangentes en a et b, qui 1 sont réelles ou imaginaires conjuguées; les deux autres se confondent avec la' droite double ab qui est réelle. L'équation du troisième degré a encore une racine simple et une racine double, toutes deux réelles ; la première donne les deux tangentes, la seconde la droite des contacts. (Voyez pour une discussion complète, le chapitre xn.)

288. Pour montrer une application de ce qui précède, -considérons deux ellipses ayant un foyer commun. Ces deux ellipses ne peuvent se couper en plus de deux points réels; car, d'après ce que nous avons dit au n° 260, deux ellipses qui ont un foyer commun et trois points communs coïncident ; elles admettent donc seulement deux sécantes communes réelles.

Soient {x— «)2 + (y-p)a — *Y =0»

(ar-«)i + (y-P),-^Y,'=o,

les équations des deux ellipses; les deux sécantes communes réelles ky = ±kY passent par le point d'intersection I des directrices DI, D'I (fig. 166), et il est facile de les déterminer géométriquement. Supposons que les deux ellipses se coupent en deux points réels A et B ; Tune des sécantes communes réelles est la droite AB qui passe par ces deux points :

l'autre IL ne rencontre pas les courbes. Pour déterminer cette seconde droite, joignons le point A au foyer F et abaissons de ce point des per-