AE

k' AE

et, par suite, r=-— . Prolongeons la perpendiculaire AE d'une

longueur EH égale à elle-même; par le point H menons une parallèle HL à la première directrice et par le point A une parallèle AL à la seconde directrice; le point d'intersection L de ces deux parallèles appartiendra à la seconde sécante commune réelle IL.

289. Un cercle coupe une courbe du second degré en quatre joints réels ou imaginaires ; soit

l'équation du cercle, a = o, et p = o celles d'un couple de sécantes communes réelles, l'équation de la courbe du second degré pourra toujours être mise sous la forme

{x ay -f (y — b)* — r2 = ftap.

Le premier membre représente le carré de la longueur de la tangente menée d'un point quelconque de la courbe au cercle; il en résulte ce théorème : un cercle étant placé d'une manière: quelconque dans le plan d'une courbe du second degré, la tangente menée de tout point de la courbe au cercle est à la moyenne proportionnelle entre les distances de ce point à deux sécantes communesréelles dans un rapport constant.

Supposons que le cercle soit tangent à la courbe en deux points réels ou imaginaires conjugués, la droite des contacts sera réelle, et l'équation de la courbe prendra la forme

(x — ay + {y — b)* — r2 = fo».

Ainsi, lorsqu'un cercle est doublement tangent à une courbe du second degré, la tangente menée d'un point quelconque de la courbe au cercle est à la distance de ce point à la corde des contacts dans un rapport constant.

Le foyer d'une courbe du second degré peut être considéré comme un cercle d'un rayon nul ayant avec la courbe un? double contact imaginaire; la directrice est la corde des» contacts.

290. A l'aide de la théorie précédente on détermine d'une manière très-simple le nombre des normales que Ton peut mener d'un point donné à une courbe du second degré. Soit, par exemple, l'ellipse définie par l'équation

(i) ô*a>* + aV = af&f»

et P un point dont les coordonnées sont xx et yi (fig. 167). Désignonspara; et y les coordonnées du pied M de l'une des normales; ces inconnues devront vérifier l'équation (1) et aussi l'équation

(a) yt — y — Tr{xi—^) ou c2a;y -i- 624/i3c — 0^,^ = 0^ 0 oc

qui exprime que la normale au point M passe par le point P. Il résulte de là que le point M est déterminé par la rencontre de l'ellipse (r) et de l'hyperbole équilatère définie par l'équation (2); l'une des brandies de l'hyperbole passant au centre de l'ellipse, les deux courbes ont au moins deux points réels communs. L'équation du troisième degré, de laquelle dépend la recherche des sécantes communes aux deux courbes, est

4aa W + (afœif + &22/i2 — ck)\ — c^xlyi = o.

Si l'équation (3) n'admet qu'une racine réelle, nous avons vu (n° 286) que les courbes (1) et (2) n'ont que deux points réels communs; si i'équation (3) a ses trois racines réelles, les courbes (1) et (2), ayant au moins deux points réels communs, se coupent en quatre points réels. On doit avoir, dans le premier cas,

(a*x\ + bhj\ — c'*)3 + *7a*b*c*œ\y\>of •et dans le second cas,

(5) {a*œ\ + b2y\ — c4)3 ■+ 27 a*btyx\y\ < o. Si les coordonnées xt, yi vérifient la relation

(6) {a?x\ +' bhj\ -- c4)3 + 27 a?b2àx\y\ = o,

les racines de l'équation (3) sont encore réelles, mais il y a une racine double, et l'on ne peut mener du point P que trois normales distinctes. Les points P qui satisfont à cette condition forment une courbe CDG'D' qui présente quatre points de rebroussement en C, G', D, D\ L'équation (6) prend la forme plus simple

<©n voit aisément que pour tout point intérieur à cette courbe la relation (5) est vérifiée, c'est-à-dire que par ce point on peut mener quatre normales réelles, tandis que l'on ne peut mener que deux normales réelles par tout point extérieur à la même courbe.

EXERCICES

i° Construire une courbe du second degré, connaissant la directrice et trois points.

a0 Construire une parabole, connaissant le foyer et deux points, ou un point et une tangente.

3° Construire une parabole, connaissant la directrice et deux points.

4° Construire une hyperbole, connaissant trois points et les directions des asymptotes.

5° Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, un sommet et un point.

6° Trouver le lieu du sommet d'une parabole ayant un foyer donné et tangente à une droite donnée.

7° Trouver le lieu du foyer d'une parabole ayant son sommet en un point donné et tangente à une droite donnée.

8° Trouver le lieu des foyers des courbes du second degré inscrites dans un parallélogramme donné.

9° Une corde tourne autour de l'un des foyers d'une courbe du second degré; trouver le lieu du point de rencontre des normales me* nées à la courbe par ses deux extrémités.

ro° Deux courbes du second degré ayant un foyer commun, un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet situé au foyer commun ; trouver le lieu du point de rencontre des tangentesmenées respectivement aux deux courbes aux points où elles sont coupées par les côtés de l'angle.

ii° Trouver le lieu du point de rencontre des droites menées parallèlement à deux directions iixées par les extrémités d'une corde de longueur donnée inscrite dans une circonférence donnée.

i2° Trouver le lieu du centre d'une hyperbole équilatère circonscriteà un triangle donné.

i3° Trouver le lieu des foyers ou des sommets d'une hyperbole,, ayant une asymptote et une directrice données.

i4° Trouver le lieu des centres des courbes du second degré qui passent par les quatre points d'intersection de deux coniques données. Ce lieu ne change pas quand chacune des coniques varie en restant semblable et concentrique à elle-même.

i5° Un cercle variable touche une ellipse donnée en un point donné ; trouver le lieu du point de rencontre des tangentes communes aux deux courbes.

i6° Trouver le lieu du centre d'une hyperbole qui a un foyer donné et qui coupe en un point donEé une droite donnée parallèle à Tune «les asymptotes.

170 Trouver le lieu du foyer d'une parabole qui touche deux droites données, l'une en un point fixe, l'autre en un point variable.

180 Trouver le lieu du point de rencontre de deux paraboles, qui admettent pour foyer un point donné, qui touchent une droite donnée et qui se coupent sous un angle donné.

190 Étant donnés trois points A, B, C et une droite indéfinie, on prend sur cette droite un segment variable MN, vu du point À sous un angle constant ; trouver le lieu du point d'intersection des deux droites BM et CN.

200 Deux angles de grandeurs constantes tournent autour de leurs sommets placés aux extrémités du grand axe d'une ellipse, le point de rencontre de deux des côtés décrit l'ellipse ; trouver le lieu du point de rencontre des deux autres côtés.

ai0 Trouver le lieu des sommets d'une hyperbole équilatère passant en un point donné et ayant pour asymptote une droite donnée.

220 Étant donnés un système de coniques ayant pour foyers F et F', et une droite fixe passant par le foyer F ; les tangentes à ces diverses coniques, aux points où chacune d'elles est coupée par cette droite, sont tangentes à une même parabole, qui a pour foyer le point F', et pour directrice la sécante.

La partie de chaque tangente comprise entre la conique et la parabole est vue du foyer F' sous un angle droit.