Considérons une équation algébrique du degré m

mise sous forme entière. La tangente, au point dont les coor données sont x et y, est représentée par l'équation (i) (X-*)£+(Y-y)/; = o,

ou Xf: + Yf;~(xf; + yfy) = o.

Cette équation renferme aussi les coordonnées du point de contact au degré m ; mais on peut, au moyen de la relation (1), faire disparaître les termes du degré m. On opère aisément cette réduction à l'aide d'une notation particulière, que nous ferons connaître. Concevons que dans l'équation (1) on rem-

x v place x et y par - et -, et que Ton multiplie tous les termes

par zmy le polynôme f {x} y) se transforme en un polynôme homogène et du degré m par rapport aux trois lettres x,y, z^ polynôme que nous représenterons par f(x, y, z). Il est évident que, si dans ce dernier polynôme on fait z = i, on reproduit le polynôme proposé f(x, y). On sait que si une fonction f(x, y, z,) est homogène et du degré m par rapport aux trois lettres x, y, z, on a identiquement

*f* + y fi + zf* = mf(*> V> *)• On en déduit

*f* + yfy = mf 0*> y. z) — *£•

La valeur du second membre, quand on y fait z=i, est égale à la quantité xfx -f- yfy, telle qu'elle entre dans l'équation de la tangente ; mais le point de contact étant sur la courbe, le premier terme mf(x, y, z) se réduit à zéro; l'expression xfx -\-yfy' est donc égale à la valeur que prend — zf'z, quand on fait z — i. On peut ainsi mettre l'équation de la tangente sous la forme

Pour plus de symétrie, on écrira

00 Xfi + Yfl + Zr.=o.

Quand on aura pris les trois dérivées partielles de la fonction homogène f(x, y, z), on remplacera z et Z par l'unité dans l'équation (a).

292. Proposons-nous maintenant de mener par un point donné/?, ayant pour coordonnés xt et yi? des tangentes à la courbe donnée. Appelons x ety les coordonnées de l'un des points de contact; la tangente en ce point devant passer par le point p, l'équation (2) sera vérifiée par les coordonnées x% et yi du point p7 ce qui donne la relation

zJx + yify + Zfz = o, que, pour plus de symétrie, on mettra sous la forme

en convenant de remplacer z et zi par l'unité. Les points de contact seront déterminés par les deux équations simultanées (i) et (3). Ces deux équations étant, l'une du degré m, l'autre du degré m — 1, le nombre des solutions sera au plus m (m— 1) . Ainsi par un point p on peut mener au plus m (m — 1) tangentes, réelles ou imaginaires, à une courbe du degré m.

Lorsque la courbe est du second degré, l'équation (3) est du premier degré, et Ton a deux solutions, réelles ou imaginaires conjuguées. Quand les deux solutions sont réelles, on peut mener du point p à la courbe deux tangentes réelles. Quand les deux solutions sont imaginaires conjuguées, les deux tangentes sont imaginaires conjuguées, mais la droite des contacts (3) reste réelle.

L'équation générale des lignes du second degré tangentes à une courbe du second degré représentée par l'équation /(a?, y) = 0, aux points où elle est coupée par la droite (3), est (n° 281)

f{*,y)-i(*ifi + yifi + *in)Ë=o9

X désignant un paramètre arbitraire. Si Ton détermine X de façon que cette ligne passe au point xi9yi9 elle se réduira né' cessairement au système des deux tangentes issues de ce point qui sont ainsi représentées par l'équation

4/0*1 > yO f(x> y) — (ffi/* + yi fi + z> /«)* =°-