ELLIPSE

11. U ellipse est une courbe telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes est constante. Ces deux points sont les foyers de l'ellipse.

Désignons par 2a la somme constante des distances de chacun des points de l'ellipse aux deux foyers, et par ic la distance

FF7 des foyers. On peut construire l'ellipse par points en décrivant un cercle de l'un des foyers F comme centre avec un rayon arbitraire u, et un second cercle de l'autre foyer F' comme centre avec un rayon v égal à 2a — u. Les points d'intersection M et M' des deux cercles appartiennent à l'ellipse. Pour que les deux cercles se coupent, il faut que le plus grand rayon soit plus petit que a-\-c; alors le plus petit est plus grand que a — c.

Les points M et M' étant symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite FF', cette droite est un axe de la courbe. La droite BB' menée par le point 0, milieu de FF', perpendiculaire à FF', est un second axe.

Les points où les axes coupent la courbe s'appellent sommets. On obtient les sommets A et A' situés sur le premier axe, en prenant les distances FA, F'A', égales à a — c. On détermine les sommets B et B', situés sur le second axe, en décrivant de l'un des foyers comme centre un cercle, avec un rayon égal à a. La distance OA est égale à a, et la distance OB, que l'on désigne par b, est égale à \/a2 — c2. Au lieu de définir l'ellipse par les deux longueurs 2a et 2c, comme précédemment, on peut la définir par les deux longueurs 2a et 2b ; on a alors

c = y a2 — b2. Le point 0, milieu de FF', est centre de la courbe.

12. Cherchons l'équation de l'ellipse. Le système de coordonnées indiqué par l'énoncé est le premier système bipolaire (n° 4) ; si l'on détermine la position de chacun des points

du plan par ses distances aux deux points fixes F et F', l'ellipse aura pour équation

Dans le second système bi-polaire, l'équation a aussi une forme très-simple; si l'on désigne par a et p les deux angles coordonnés MFF', MF'F, et par zp le périmètre 2a+2e du triangle MFF', on a

tang-=\/(p~ac)(p~tl)>

°2 JO (p U)

d'où

(2) tan g - tang - :

■fAC

13. Cherchons enfin l'équation en coordonnées rectilignes. Prenons les deux axes de la courbe pour axes des coordonnées (fig. 10) : les longueurs PF et PF' étant égales à t—x et à c-\-x, les triangles rectangles FMP, F'MP donnent

u = \/y* + {c-xy, v = \Jy* + {c + x)\

En substituant les valeurs de u et de v dans l'équation (1), on obtient l'équation

-r (3) v/ya+(c-a?)a +vV +(c+*)2=2a.

Pour mettre cette équation sous la forme entière , nous élèverons au carré, après avoir fait passer le premier radical dans le second membre, ce qui donne

Fig. 10.

ou, en simplifiant,

a\/y2-\-{c — xy = a2—cx.

Une nouvelle élévation au carré conduit à l'équation (4) a2 .V2 + {a2 — c2)x2 = a2 (a2 — c2).

Mais réquation (4) n'est pas équivalente à l'équation (3) ; elle équivaut aux quatre équations

-ia

•■'ia

que l'on obtient, quand dans l'équation (3) on change les signes des radicaux. L'équation — u—v=2a n'a pas de solution réelle. Les équations u — v=2a, — u-\-v=2a n'ont pas non plus de solution réelle, quand on suppose 2a>2c; car les quantités u et v désignent les distances des points F et F' à un point du plan ayant pour coordonnées x et y, et la différence des distances ne peut pas être égale à la longueur 2a plus grande que la distance 2c ou FF'. Ainsi, quand on se borne aux solutions réelles, on peut dire que l'équation (4) est équivalente à l'équation (3). La somme constante 2a étant plus grande que la distance des foyers 2c, on peut poser a2 — c2=b2, et l'équation de l'ellipse se met sous la forme a2y2-\-b2x2 = a2b2, ou

x* y* HYPERBOLE.

14. L'hyperbole est une courbe telle que la différence des distances de chacun de ses points à deux points fixes est constante. Ces deux points fixes F et F' sont les foyers de l'hyperbole.

L'hyperbole admet, comme l'ellipse, deux axes de symétrie, qui sont la droite FF' (fig. 1 1 ) et la perpendiculaire BB' à cette

droite, en son milieu 0. Elle se compose de deux branches distinctes. On peut construire par points ïa branche de jd" droite, en décrivant un cercle du foyer F comme centre, avec un rayon arbitraire u, et un second cercle du foyer F' comme centre, avec un rayon v égal à 2a-\-u. Pour que les cercles se coupent, il faut que Ton ait u plus grand que c—a. On obtient de la même manière la seconde branche. Le point 0, milieu de FF', est centre de la courbe.

F JD

VJflK

Fig. il.

Le premier axe rencontre seul la courbe en deux points A et A, qui sont les sommets, et que Ton détermine en prenant OA==:OA'=a; c'est pourquoi cet axe a reçu le nom d'axe transverse.

Dans le premier système bi-polaire, si l'on appelle u et v les distances d'un point quelconque de la courbe aux deux foyers F et F', les deux branches de la courbe ont respectivement pour équations (iV v — u~±ia.

Dans le second système bi-polaire, les équations des deux branches sont

tang- tang-

15. En coordonnées rectangulaires, si l'on prend pour axes des coordonnées les deux axes de la courbe, l'équation de l'hyperbole est

VV + (c-\-xf — \Jy2 + (c — xf = ± 2fl.

En répétant ici les transformations du n° i5, on arrive à l'équation sous forme entière, a2y2-\-(a2 — c2)x2=a2(a2 — c2), que nous avons déjà obtenue pour l'ellipse.

Cette équation, comme nous l'avons remarqué, équivaut aux quatre équations distinctes v — u=±za, u-\-v~±2a; mais, dans le cas actuel, 2a étant plus petit que 2c, les deux dernières n'ont pas de solution réelle. Si l'on pose c2 — a2 = b2f l'équation de l'hyperbole devient

II est bon d'observer que, dans le système rectiligne, les deux branches de l'hyperbole sont comprises dans la même équation (3), tandis que, dans le premier système bipolaire, lune des branches est représentée par l'équation v~u=2a, l'autre par l'équation u — v=2a. Il faut aussi deux équations distinctes dans le second système bi-polaire.