PARABOLE

10. La parabole est une courbe dont chacun ctes points est également distant d'un point fixe nommé foyer et d'une droite fixe appelée directrice.

La perpendiculaire abaissée du foyer F sur la directrice DD' est un axe de symétrie de la courbe. Le point A, milieu de FD, est le sommet de la parabole. La courbe est située tout entière à droite de la parallèle menée par le point A à la directrice. On obtient un point quelconque de la courbe en menant une parallèle MM' à la directrice, à une distance DP plus grande que AD, et décrivant un cercle Fig. 12. du foyer F comme centre, avec un rayon

égal à cette distance DP.

17. La définition de la parabole indique un système de coordonnées dont nous n'avons point encore parlé. On peut déterminer un point quelconque M du plan par ses distances MF et ME à un point fixe F et à une droite fixe DD' (fig. i3); la position du point M sera donnée par l'intersection d'un cercle décrit du point F comme centre et d'une droite parallèle à DD'. Si l'on appelle u et v les

Fig. i3. deux coordonnées du point M, la parabole

aura pour équation, dans ce système,

18. Prenons maintenant pour origine des coordonnées rectilignes le sommet A de la parabole, pour axe des x l'axe AX de la parabole, et pour axe des y une perpendiculaire AY. En désignant par p la distance FD du foyer à la directrice, on a

V=rAP + AD:

=vv+(*-

EXEMPLES, et l'équation de la parabole devient

ou

(2) y2 = ipx.

19. Avant d'aller plus loin nous dirons comment on définit la tangente à une courbe quelconque. En Géométrie

élémentaire , on appelle tangente au cercle une droite indéfinie qui n'a qu'un point Fig. 14. commun avec la circonfé-

rence; mais cette définition n'étant pas susceptible d'être généralisée, il convient de définir la tangente d'une autre manière. Soit M un point donné sur une courbe (fig. 14) ; par ce point et un point voisin M', menons une droite indéfinie : dans les figures que nous étudierons, la direction MM' tend, en général, vers une direction limite MT, lorsque le point M' tend le point M. C'est cette droite MT que l'on appelle tangente à la courbe au point M. On appelle normale à la courbe au point M la perpendiculaire menée par ce point à la tangente* 11 est aisé de voir, d'après cette définition, que la tangente au cercle au point M est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OM (fig. i5 ); car, dans le triangle isocèle MOM', l'angle OMM' est égal à un angle droit, moins la moitié de l'angle au centre MOM'; quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, l'angle au centre tend vers zéro, et l'angle OMM' devient droit. La normale au cercle en M est le rayon MO.

CISSOÏDE DE DIOCLES.

20. Étant donnés un cercle, un diamètre AB, une tangente BG à l'extrémité de ce diamètre (fig. 16), si autour du point A on fait tourner une sécante AE, sur laquelle on porte à partir du point A une longueur AM égale à la portion DE de la se-

Fig. 15.

cante comprise entre le cercle et la tangente fixe, le lieu

du point M est une courbe qui porte le nom de Cissoïde.

Si l'on supposequela sécante mûbile parte de la position AB et tourne autour du point A, de AX vers la perpendiculaire AY, lalongueur DE et par suite AM, augmentant indéfiniment, le point M décrira une branche de courbe infinie AMM'. En faisant tourner la sécante mobile de l'autre côté de AB, on obtiendra évidemment une seconde branche égale à la première.

La droite AB est un axe de la Fig. i6. courbe, puisque les deux branches

sont symétriques par rapport à cette droite.

Les tangentes aux deux branches au point A coïncident avec Taxe. Car si la sécante AM tourne autour du point A de manière à ce que la corde AM ou DE devienne nulle, elle tend vers la position limite AB; donc AB est la tangente en A. Le point A est ce qu'on appelle un point de rebroussement.

On peut voir aussi que les deux branches de la courbe se rapprochent indéfiniment de la droite CC. En effet, considérons la sécante dans la position AE'; si de la longueur totale AE' on retranche alternativement les deux longueurs égales AM' et D'E', on a M'E' = AD'. La corde AD' diminuant de plus en plus et tendant vers zéro, il en est de même de la longueur M'E', et à plus forte raison de la perpendiculaire M'H. Cette droite CC, dont la courbe se rapproche indéfiniment, s'appelle une asymptote.

La cissoïde a été imaginée par le géomètre grec Dioclès, pour résoudre le problème de la construction de deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données.

21. Cherchons l'équation de la cissoïde en coordonnées polaires ; prenons le point A pour pôle et la droite AB pour axe polaire. Appelons a le diamètre du cercle donné,

f et w les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe (fig. 17). Dans les triangles rectangles ABE, ABD, on a